كيفية حساب الوسيط

‘);
}

طريقة حساب الوسيط

يمثّل الوسيط أحد قيم النزعة المركزية، ويتم استخدامه عادة لتحديد المتوسط التقريبي لمجموعة من البيانات، وهو يمثّل الرقم الأوسط من قائمة الأرقام المرتّبة تصاعدياً أو تنازلياً؛ حيث يقسم القيم إلى قسمين أو جزأين علوي وسفلي، ليمثل القيمة الوسطى فيها، كما يمكن استخدامه لتحديد المتوسّط بشكل تقريبي، وقد تختلف قيمة الوسيط عن قيمة المتوسط الحسابي بشكل كبير، خاصة عند وجود قيم متطرفة ومختلفة بشكل كبير في قيمها عن معظم القيم أو المشاهدات، الأمر الذي قد يؤدي إلى التأثير على قيمة المتوسط، وفي المقابل عدم تأثر الوسيط بها بشكل كبير؛ حيث يعتبر الوسيط أقل تأثراً بهذه القيم مقارنة بالمتوسط الحسابي،^[٢][٣] ولإيجاد الوسيط لمجموعة من البيانات العددية بشكل يدويّ، يجب اتّباع الخطوات الآتية بالترتيب، وهي:^[١][٤][٣]

• ترتيب القِيم من الأصغر إلى الأكبر، أو من الأكبر إلى الأصغر؛ أي يُمكن ترتيبها تصاعديّاً أو تنازليّاً.
• عدّ القِيم، فإذا كان عددها فرديّاً، فالوسيط هو العدد الذي يتوسّط هذه القيم بعد ترتيبها، ويمكن تحديد ترتيبه عن طريق تطبيق القانون الآتي: ترتيب الوسيط=2/(عدد المشاهدات+1)؛ فمثلاً الوسيط لمجموعة الأعداد الآتية بعد ترتيبها: 4,5,6,7,8 هو العدد 6، وهي القيمة الثالثة في الترتيب.
• إذا كان عدد القيم زوجيّاً، فالوسيط حينها هو المتوسّط الحسابي للعددَين الأوسطَين؛ والتي يتم تحديد ترتيبها عن طريق القانون: عدد المشاهدات/2، فيكون الوسيط هو المتوسط الحسابي لهذه القيمة والقيمة التي تليها؛ فمثلاً الوسيط لمجموعة الأعداد الآتية بعد ترتيبها: 3,4,7,9,12,15 هو 2 /(7+9)=8، وهو يمثل المتوسط الحسابي للقيمتين الثالثة والرابعة في الترتيب.

حساب الوسيط للجداول البيانية

يتم عادة حساب الوسيط للبيانات المجمّعة ضمن الجداول البيانية من خلال القانون الآتي:

• الوسيط= القيمة الدنيا للفئة الوسيطية+ (((مجموع التكرارات الكلي/2)-قيمة التكرار التراكمي قبل الفئة الوسيطية) / تكرار الفئة الوسيطية)*طول الفئة الوسيطية.^[٥]

ولتوضيح ذلك نطرح المثال الآتي الذي يوضح طريقة حساب الوسيط للبيانات المجمّعة ضمن الجداول التكرارية:^[٥]

• احسب الوسيط للبيانات الآتية التي تمثل الوقت المستغرق للذهاب إلى العمل لخمسين شخصاً:

• الحل:
  • يجب لحساب الوسيط أولاً تحديد الفئة التي يوجد فيها (الفئة الوسيطية)، وهي أول فئة تبلغ قيمة التكرار التراكمي لها القيمة ن أو تزيد؛ حيث ن= رتبة الوسيط= 2/مجموع القيم، وفي هذه الحالة ن= 50/2=25، وأول فئة تبلغ قيمة التكرار التراكمي لها العدد 25 هي الفئة الثالثة (21-30).
  • التعويض في القانون مباشرة؛ حيث:
    • القيمة الدنيا للفئة الوسيطية= 20.5؛ حيث يتم التعبير عن هذا العدد بالقيمة 21.
    • مجموع التكرارات الكلي=50.
    • قيمة التكرار التراكمي قبل الفئة الوسيطية=22.
    • تكرار الفئة الوسيطية=12.
    • عرض الفئة الوسيطية=10.
    • الوسيط= القيمة الدنيا للفئة التي يوجد الوسيط فيها+ (((مجموع التكرارات الكلي/2)-قيمة التكرار التراكمي قبل الفئة الوسيطية ) / تكرار الفئة الوسيطية)*طول الفئة الوسيطية= 21.5+(12/((50/2)-22))*10=24.
  • يتضح مما سبق أن هناك 25 شخصاً يستغرق وقت الذهاب إلى العمل لديهم مدة تقل عن 24 دقيقة، أما البقية المتمثلة بالـ 25 الآخرين فيستغرق الذهاب إلى العمل لديهم مدة تزيد عن 24 دقيقة.

أمثلة متنوعة على كيفيّة حساب الوسيط

• المثال الأول: جد الوسيط لمجموعة الأرقام الآتية: 1, 2, 4, 7.^[٦]
  • الحل: عدد الأرقام في هذا المثال زوجيّ؛ لذا يتم حساب الوسيط وفقاً لمتوسّط القيمتين الوسطيتين في القائمة وهما: (2,4)، وذلك كما يأتي: (2+4)/2 = 3؛ وهي قيمة غير موجودة في القائمة.

• المثال الثاني: جد الوسيط للأعداد الآتية: 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 13.^[٦]
  • الحل: بما أنّ القائمة مكوّنة من عشر قيم؛ فإنّ ترتيب قيمة الوسيط ستكون كالآتي: 2/(10+1) = 5.5، وهذا يعني أنّ الوسيط موجود بين القيمة الخامسة والسادسة في السلسلة، أي بين القيمة (10) والقيمة (11)؛ وبذلك يكون الوسيط: 2/(10+11) = 10.5.

• المثال الثالث: جد الوسيط لمجموعة الأعداد الآتية: 1,2,3,5,6,8,9,11.^[٣]
  • الحل:عدد الأرقام في هذا المثال هو ثمانية، وهو زوجي، ولتحديد الوسيط يجب أولاً تحديد القيم التي يجب حساب المتوسط لها عن طريق قسمة عدد المشاهدات على اثنين، لينتج أن الوسيط هنا هو المتوسط الحسابي للقيمتين الرابعة والخامسة في الترتيب، وهو: الوسيط= 2/(5+6)= 5.5.

• المثال الرابع: جد الوسيط لمجموعة الأعداد الآتية: 65,57,33,41,49.^[٧]
  • الحل: يجب أولاً ترتيب الأعداد تصاعدياً أوتنازلياً، لتصبح: 33,41,49,57,65، بما أن عدد الأرقام فردي فيمكن تحديد ترتيب قيمة الوسيط عن طريق هذا القانون: ترتيب الوسيط=2/(عدد المشاهدات+1)= 2/(5+1)=3؛ فالوسيط هنا هو القيمة الثالثة في الترتيب بين القيم، وهو العدد 49.

• المثال الخامس: جد الوسيط لمجموعة الأعداد الآتية: 10, 40, 20, 50.^[٨]
  • الحل: يجب أولاً ترتيب الأعداد تصاعدياً أوتنازلياً، لتصبح: 10, 20 ,40, 50، وبما أن عدد الأرقام في هذا المثال هو أربعة وهو زوجي، فيجب لتحديد الوسيط أولاً تحديد القيم التي يجب حساب المتوسط لها لإيجاده عن طريق قسمة عدد المشاهدات على اثنين، لينتج أن الوسيط هنا هو المتوسط الحسابي للقيمتين الثانية والثالثة في الترتيب، وهو: الوسيط= 2/(20+40)= 30.

• المثال السادس: تبلغ رواتب ثمانية موظفين في إحدى الشركات: $40,000, $29,000, $35,500, $31,000, $43,000, $30,000, $27,000, $32,000، جد الراتب الوسيط لمجموعة الرواتب هذه.^[٩]
  • الحل: يجب أولاً ترتيب الأعداد تصاعدياً أو تنازلياً، لتصبح: $27,000, $29,000, $30,000, $31,000, $32,000, $35,500, $40,000, $43,000، وبما أن عدد الأرقام في هذا المثال هو ثمانية وهو زوجي، فيجب لتحديد الوسيط أولاً تحديد القيم التي يجب حساب المتوسط لها لإيجاده عن طريق قسمة عدد المشاهدات على اثنين، لينتج أن الوسيط هنا هو المتوسط الحسابي للقيمتين الرابعة والخامسة في الترتيب، وهو: الراتب الوسيط= 2/($31,000 + $32,000)= $31,500.

• المثال السابع: تبلغ أعمار الأطفال في إحدى العائلات: 9, 12, 7, 16,13 سنة، ما هو عمر الطفل الأوسط أو العمر الوسيط في هذه العائلة.^[٩]
  • الحل: يجب أولاً ترتيب الأعداد تصاعدياً أوتنازلياً، لتصبح: 7, 9, 12, 16,13، وبما أن عدد الأرقام فردي فيمكن تحديد ترتيب قيمة الوسيط عن طريق هذا القانون: ترتيب الوسيط= 2/(عدد المشاهدات+1)= 2/(5+1)=3؛ فالوسيط هنا هو القيمة الثالثة في الترتيب بين القيم، وهو العدد 12، إذن عمر الطفل الأوسط في هذه العائلة هو 12سنة.

• المثال الثامن: احسب الوسيط للبيانات الآتية التي تمثل الوقت المستغرق بالثواني لقطع المسافة لـ 21 رياضياً ضمن أحد سباقات الجري السريع.^[١٠]

• الحل:
  • يجب لحساب الوسيط أولاً تحديد الفئة التي يوجد فيها، وهي أول فئة تبلغ قيمة التكرار التراكمي لها القيمة ن، حيث ن= مجموع القيم/2، وفي هذه الحالة ن= 21/2=10.5، وأول فئة تبلغ قيمة التكرار التراكمي لها العدد 10.5هي الفئة الثالثة (61-65).
  • التعويض في القانون مباشرة؛ حيث:
    • القيمة الدنيا للفئة التي يوجد الوسيط فيها= 60.5؛ حيث تضم هذه الفئة عادة القيم التي تزيد عن 60.5، ويتم التعبير عنها عادة بالقيمة 61 بعد التقريب.
    • مجموع التكرارات الكلي=21.
    • قيمة التكرار التراكمي قبل الفئة الوسيطية=9.
    • تكرار الفئة الوسيطية=8.
    • طول الفئة الوسيطية=5.
    • الوسيط= القيمة الدنيا للفئة الوسيطية+ (((مجموع التكرارات الكلي/2)-قيمة التكرار التراكمي قبل الفئة الوسيطية ) / تكرار الفئة الوسيطية)*طول الفئة الوسيطية=60.5+(8/((21/2)-9))*5= 61.4375.
  • يتضح مما سبق أن نصف اللاعبين استغرق قطع المسافة لديهم مدة تزيد عن 61.44 ثانية، أما النصف الآخر فاستغرق مدة تقل عن 61.44 ثانية.

الفرق بين الوسيط والمعدّل والمنوال

يُشير مفهوم كل من المعدل أو المتوسط الحسابي والوسيط إلى القيمة الوسطى أو المركزية للبيانات المُعطاة، وفي العادة تختلف قيمتهما إلا أنها قد تتماثل أحياناً؛ فمثلاً المتوسط الحسابي للأرقام الآتية: 10,10,20,40,70 هو: 5/(10+10+20+40+70)=30، وهو يعادل مجموع القيم مقسوماً على عددها، أما الوسيط فهو القيمة الوسطى منها بعد ترتيبها وهو 20، أما بالنسبة للمنوال فهو القيمة الأكثر تكراراً من بين القيم، وهو في هذه الحالة العدد 10،^[١١] وتبرز أهمية الوسيط بشكل واضح مثلاً في بعض البحوث والدراسات الاجتماعية؛ حيث يمكن لبعض القيم المتطرفة مثل دخل بعض الأسر المرتفع جداً أثناء دراسة الدخل السنوي لبعض الأسر في المجتمع، أن يؤثر على قيمة المتوسط الحسابي، وفي المقابل لا يمكن له التأثير بشكل كبير على قيمة الوسيط، حيث يمثل الوسيط في هذه الحالة نتائج أكثر دقة لمثل هذه الدراسات.^[١٢]

المراجع

1. ^^أبأ.د بركات عبد العزيز (.)، مقدمة في التحليل الإحصائي لبحوث الإعلام الدار المصرية اللبنانية، صفحة: 112-118. بتصرّف.
2. ↑Will Kenton (29-1-2019), “Median”، www.investopedia.com, Retrieved 23-4-2019. Edited.
3. ^^أبتYash Singhal, Nihar Mahajan, Mahindra Jain, “Median”، brilliant.org, Retrieved 5-2-2020. Edited.
4. ↑“Finding a Central Value”, www.mathsisfun.com, Retrieved 5-2-2020. Edited.
5. ^^أب“Lecture 2 – Grouped Data Calculation”, people.umass.edu, Retrieved 9-2-2020. Edited.
6. ^^أب“Mean, Median, Mode, and Range”, www.purplemath.com, Retrieved 5-2-2020. Edited.
7. ↑“Statistical Displays”, www.westada.org, Retrieved 5-2-2020. Edited.
8. ↑“Mean, median, and mode”, www.khanacademy.org, Retrieved 5-2-2020. Edited.
9. ^^أب“The Median of a Set of Data”, www.mathgoodies.com, Retrieved 5-2-2020. Edited.
10. ↑“Mean, Median and Mode from Grouped Frequencies”, www.mathsisfun.com, Retrieved 9-2-2020. Edited.
11. ↑“Statistics How To”, www.statisticshowto.datasciencecentral.com, Retrieved 5-2-2020. Edited.
12. ↑“When is it Generally Better to Use Median Over Mean?”, surveymethods.com,27-8-2011، Retrieved 5-2-2020. Edited.