امثلة على خاصية التوزيع

ماهي خاصية التوزيع

تعريف خاصية التوزيع حيث خاصية التوزيع أو ما يعرف أيضا بقانون التوزيع الخاص بالضرب ، وتعتبر خاصية التوزيع احد اهم الخصائص التي يتم استخدامها في الرياضيات ، فخاصية التوزيع تساعد في تبسيط وتسهيل المسائل الرياضية الصعب [1] .

وتوضح لنا خاصية التوزيع طريقة حل التعبيرات والتي تأتي على شكل أ ( ب + ج ) ، عن طريق الضرب المباشر للعدد الموجود خارج الأقواس مع الأعداد التي بداخله ، ثم نجمع النواتج مع بعضها ، مثل :

أ ( ب + ج ) = أ ب + أ ج

وعلى عكس الطريقة القديمة فإنه عند احتواء التعبيرات الرياضية على أقواس ف، هي أيضا تحتوي على متغيرات ، حيث تتغير الكميات في سياق المسألة الرياضية .

انواع خاصية التوزيع بالأمثلة

خاصية التوزيع للضرب على الجمع

يمكن استخدام  استعمال خاصية التوزيع حيث تتساوى النتائج عند استخدام خاصية التوزيع أو استخدام تتبع ترتيب العمليات ، في المثال التالي سنقوم بتقييم المسألة وفقا لترتيب العملية ، ونقوم بتبسيط المسألة وما بين الأقواس مثل [2] :

٣ ( ٧ + ٤ ) = ٣ ( ١١ ) = ٣٣

أما باستخدام خاصية التوزيع نقوم بالآتي :

• نزرع الرقم الخارجي على الأرقام داخل القوس ، بمعني نضرب الرقم خارج الأقواس بالأرقام الداخلية .
• بعد عميلة الضرب نقوم بجمع النتيجتين .
• نحص على الحل النهائي .

مثال :

٣ ( ٧ + ٤ ) = ٣ ( ٧ ) + ٣ ( ٤ ) = ٢١ + ١٢ = ٣٣

وهناك أمثلة واقعيه لتوضيح هذه المسألة ، نعتبر أن هناك ثلاث طلاب يملكون سبع حبات من الفراولة ، وأربع من التفاح ، فيمكننا ببساطة معرفة عدد القطع التي يمتلكها كل طالب من الفاكهة .

وذلك عن طريق ضرب عدد الفاكهة في ثلاثة ، وعند تقسيمها فسوف نقوم بضرب سبع حبات من الفراولة في ثلاث ، وضرب اربع حبات من التفاح في ثلاثة أيضا .

لنحصل على ٢١ حبة فراولة ، و١٢ حبة تفاح ، ليصبح المجموع ٣٣ قطعة من الفاكهة .

خاصية التوزيع للضرب على الطرح

على غرار حل المسألة السابقة سيكون تنفيذ خاصية التوزيع في الطرح أيضا ، بإتباع نفس الخطوات والقواعد ، إلا أنها ستكون بالطرح بدلا من الجمع مثل :

٥ ( ٩ _ ٦ ) = ٥ ( ٩ ) _ ٥ ( ٦ ) = ٤٥ _ ٣٠ = ١٥

خاصية التوزيع مع المتغيرات

تمكنا خاصية التوزيع من تبسيط المعادلات عند تعاملنا مع قيم غير معروفة ، وذلك باستخدام قانون التوزيع مع المتغيرات ، وذلك عن طريق عزل ” س ” :

1. نضرب أولا الرقم الخارجي في الأرقام داخل القوس .
2. نجمع بين نواتج الضرب .
3. نرتب النواتج على طرفي علامة التساوي .
4. نبسط الرقم ، ويصبح لدينا الناتج .

٤ ( س – ٣ ) = ٢٠
٤ ( س ) – ٤ ( ٣ ) = ٢٠
٤س – ١٢ = ٢٠
٤س – ١٢ + ١٢ = ٢٠ + ١٢
٤س = ٣٢
٤س/٤ = ٣٢/٤
س = ٨

ويجب ملاحظة أنه عند عزل المتغيرات ، ما يتم فعله في أحد الجوانب يتم وضعه في الجانبين الأخر ، وذلك من أجل التخلص من الرقم الزائد ، ففي مثالنا السابق للتخلص من الرقم ١٢ كان علينا إضافة رقم ١٢ في كلا الجانبين ، وذلك من اجل عزل ” س ” واستخراج قيمتها .

خاصية التوزيع مع الأس

والأس هو التدوين المختزل والذي يظهر المرات التي يجب فيها ضرب العدد تلقائي ، وعند وجود قوسين وأس يجب استخدام خاصية التوزيع لحل المسألة وتبسيطها :

نقوم أولا بتوسيع المسألة وفك الأس ، ونقوم بضرب الرقم الأول من المجموعة الأولى في أرقام المجموعة الثانية ، ثم نضرب الرقم الثاني من المجمعة الأولي في المجموعة الثانية .

ثم نجمع النواتج ويتم التبسيط إذا لزم الأمر ، ومن ثم نحصل على النتيجة

( ٥س + ٢ )٢ = ( ٥س + ٢ ) ( ٥س + ٢ )
= ٢٥س٢+ ١٠س + ١٠س + ٤
= ٢٥س٢ + ٢٠س + ٤

خاصية التوزيع مع الكسور

حل المعادلات الرياضية ذات الكسور تعتبر أكثر تعقيدا من غيرها ، وتعتبر خاصية التوزيع من الطرق البسيطة لحل مسائل الكسور :

1. نحول الكسور إلي أعداد صحيح باستخدام خاصية التوزيع .
2.  نحصل علي المضاعف المشتركة الأصغر للكسور .
3. نقوم بضرب حدود المعادلة في مضاعف المشترك الأصغر .
4. نضيف أرقام متشابهة على جانبي علامة التساوي من أجل فصل المتغيرات .
5. نقوم بجمع النواتج .
6. نبسط ، ونحصل على النتيجة .

س – ٤ = س/٤ + ١/٨
٨ ( س – ٤ ) = ٨ ( س/٤ + ١/٨ )
٨س – ٣٢ = ٨س/٤ +٨/٨
٨س – ٣٢ = ٢س +١
٨س – ٣٢ + ٣٢ – ٢س = ٢س + ١ + ٣٢ – ٢س
٨س – ٢س = ١ + ٣٢
٦س = ٣٣
س = ٣٣/٦ = ١١/٢

هل تنطبق خاصية التوزيع للقسمة

لا تنطبق الخاصية التوزيع على القسمة كما تنطبق على عمليات الضرب وبكن يمكن استخدام الفكرة في القسمة ، حيث يمكن استخدام التوزيع في القسمة لتسهيل مسائل الرياضية  الخاصة بالقسمة .

وذلك عن طريق تقسيم أو توزيع البسط إلى كميات أصغر لتسهيل حل مسائل القسمة ، كما في المثال بدلا من محاولة حلها 1255 .

من خلال قانون التوزيع  تستطيع تبسيط البسط وتحويل هذه المسألة الواحدة إلى ثلاث مسائل قسمة أصغر وأسهل يمكنك حلها بسهولة أكبر كما هو موضح .

505 + 505 + 505

امثلة على خواص التوزيع

• مثال١ :

باستخدام خاصية التوزيع  و جدول الضرب كامل أوجد حل المعادلة الآتية :

٩ ( س – ٥ ) ٨١

الحل :

نقوم بضرب الرقم خارج الأقواس في الأرقام الداخلية ، ونقوم بترتيب الأرقام على جانبي علامة التساوي ، كي نحصل على ناتج المعادلة .

٩ ( س ) – ٩ ( س ) =٨١
٩س – ٤٥ = ٨١
٩س – ٤٥ + ٤٥ = ٨١ + ٤٥
٩س = ١٢٦
س = ١٢٦/٩
س = ١٤

• مثال٢ :

حل المعادلة التالية باستخدام خاصية التوزيع ( ٧س + ٤ )٢

نقوم أ ولا بتوسيع المعادلة ، كي نحصل على جميع النواتج ، ثم نضيف الأرقام والنواتج المتشابهة .

( ٤ + ٧س )٢
( ٤ + ٧س ) ( ٤ + ٧س ) = ( ٤ + ٧س )٢
( ٤ + ٧س ) ( ٧س + ٤ ) = ٤٩س٢ + ٢٨س + ٢٨س + ١٦
٤٩س٢ + ٥٦س + ١٦

• مثال٣

أوجد حل المعادلة الآتية باستخدام خصائص عملية الضرب وخاصية التوزيع س

– ٥ = س/٥ + ١/١٠

نقوم أولا بتحديد الكسور ،ثم  نحصل على العامل المشترك الأصغر للأعداد ٥ و١٠ ، وهو الرقم ١٠ ، ثم نقوم بضرب العامل المشترك الأصغر في كلا الجانبين من علامة يساوي ، ثم  نقوم بالتبسيط ، وفي النهاية نقوم بفصل المصطلحات ذات الثوابت ، وذات المتغيرات .

س – ٥ = س/٥ + ١/١٠
١٠ ( س – ٥ ) = ١٠ ( س/٥ + ١/١٠ )
١٠س – ٥٠ = ٢س + ١
١٠س – ٢س = ١ + ٥٠
٨س = ٥٠
س = ٥١/٨