بحث عن المتجهات في المستوى الإحداثي كامل مع المراجع

بحث عن المتجهات في المستوى الإحداثي الذي يعد أحد اهم الدروس في الرياضيات البحتة والفيزياء والمستوى الإحداثي هو ما يسمى بـ المتجه الهندسي أو المكانين ويشير في تسميته إلى كل شكل هندسي يكون له طول محدد ويسير نحو اتجاه معين، ويمكن التأثير عليه عن طريق ناقلات، وفي معظم الأوقات يتأثر بالناقل الأقليدي عن طريق تقاطع خطي ذو اتجاه واحد، أو رسم بياني فيكون في هيئة سهم، وللتحدث إلى أطراف المتجهات سنشير لها برمز A وB في هذا المقال الذي يقدمه لكم موقع الموسوعة.

بحث عن المتجهات في المستوى الإحداثي وتعريفه

• المتجه هو الوسيلة الناقلة للنقطة A إلى النقطة B في العمليات الرياضية، الفيزيائية، والهندسية.
• وظهر مصطلح المتجه لأول مرة على يد علماء الفلك الذين كانوا يرصدون حركة الكواكب حول الشمس في القرن الـ 18.
• وعرفوا حينها المتجه على أنه المسافة بين نقطتين ونقطة التلاقي تمشي في اتجاه يسمى باتجاه النزوح من النقطة الأولية A إلى النقطة الطرفية B .
• وتحتاج في حلها العديد من عمليات الجبر الرياضي بـ أرقام حقيقية لحلها وتستخدم هذه العمليات الجمع والطرح، والضرب و تستخدم أيضًا قوانين جبرية ثابتة مثل التبادلية، الألفية، والتوزيع.
• كل هذه العمليات تكون عبارة عن النواقل الإقليديه والذي يعرف على أنه عناصر مساحة ناقلة.
• وتستخدم المتجهات وما ينتج عنها من نواقل في مجال الفيزياء لمعرفة سرعة الجسم المتحرك والتنبؤ بمقدار ازدياد السرعة.
• وكل ما يؤثر على تلك السرعة هي النواقل الناتجة عن المتجهات و وكل القوة التي يكون لها تأثير على المتجهات هي نواقل مثل الموقع والإزاحة وممكن أن نحدد حجم واتجاه تلك الناقلات من خلال طول واتجاه السهم المتجه .
• وتعد الإحداثيات هي الشكل التطبيقي لدرس المتجه في أرض الواقع حيث يستخدم نظام الإحداثيات لوصف متجهات الأجسام والتي تتحول إلى كميات فيزيائية تتحول بطريقة مماثلة إلى نظم إحداثيات مختلفة.

نظرة تاريخية عن المتجهات في المستوى الاحداثي

• عندما قام العلماء من أكثر من 200 عامًا بالـ بحث عن المتجهات في المستوى الاحداثي واكتشافها لم تكن في الصورة التي نعرفها الآن.
• بل كان هناك عمليات تطويرها على مدار تلك السنوات عمل عليها العديد من العلماء واستطاعوا أن يكون لهم مساهمات كبيرة فيها وكان أولهم العالم جوستو بيلاتيس.
• الذي قام في عام 1835 بتأسيس مصطلح المتجهة ليأتي من بعده العالم ويليام روان هاميلتون بوضع مجموعة من الرموز الثابتة للتعبير عن ذلك المتجه وهو  q = s + v، حيث يشير حرف الـ s إلى الناقل ثلاثي الأبعاد.
• بينما يشير الحرف v إلى الجزء التخيلي، وفيما بعد بالقرن الـ19 استطاع عدد من علماء الرياضيات والفيزياء من تطوير المتجهات ومن أهم هؤلاء العلماء :(أوغستين كوشي، هيرمان جروسمان ، أغسطس موبيوس ، كونت دي سان-فنانات ، وماثيو أوبراين).
• وفي عام 1840 كان لنظرية الإنحراف فضل كبير على العالم جروسمان في إكتشاف أول نظام تحليلي مكاني شبيه لنظام الإحداثيات اليوم وكان جروسمان يمتلك العديد من الأفكار حول المنتج المتقاطع، والمنتج القياسي.
• وتمايز المتجهات، وفي عام 1878 ومن بعد مجهودات جروسمان تم التوصل إلى عناصر ديناميكية من قبل العالم كليفورد الذي قام بتبسيط الرموز الرياضية عن طريق عزل منتجات النقطة ومنتجات التقاطع في الاتجاهين.
• ووضع العالم غيبس كتاب في تحليل المتجهات وتم نشره عام 1881 حيث يتناول  نظام حديث جدًا بتحليل المتجهات إلى أن وصلة مسألة المتجه إلى عام 1901 وقام وقتها العالم بيدويل ويلسون بنشر تحليل المتجهات بتطوير حساب التفاضل والتكامل الذي نعرفه في يومنا هذا.

المتجهات الرياضية

• عرفنا أن المتجه هو السهم الذي ينتقل من نقطة إلى أخرى، ويتكون كل متجه من المقدار وهو كمية قياسية تتلخص في طول السهم واتجاهه ويتم تحديد تلك المعلومات عن طريق زوايا أويلر .
• أما المكون الثاني فهو نقطة التأثير وهي النقطة التي يسير فيها المتجه الذي لا يعتمد على الإحداثيات النهائية  .
• ولعل أشهر المتجهات في الفيزياء هي القوة الفيزيائية والتي لها مقدار معين  واتجاه محدد في فضاء ثلاثي الأبعاد ونقطة التأثير، وإذا أراد أحد أن يحدد الزوج المرتب الخاص بالمتجه عليه أن يبدأ من نقطة انطلاقه.
• ويبدأ  بحث عن المتجهات في المستوى الإحداثي في مسائله الرياضيه عند كتابة أعداد وحدات الحركة بشكل أفقي ولا يوجد فلاق إذا كتبت هذه الأرقام من اليمين أو من اليسار.
• ولا حتى إذا بدأت من الشرق أو حتى الغرب، ومن بعدها نكتب أعداد وحدات الحركة في صورة رأسية في أي اتجاه من أعلى أو أسفل، أو شمالًا او جنوبًا.
• وعند التحرك من نقطة الإنطلاق في صورة أفقية تكون وقتها إشارة العدد الناتج موجبة، ولكن يحدث العكس إذا تم التحرك أفقيًا عندها يتكون العدد الناتج من الإشارة سلبيًا.
• ومما سبق نستنتج أن كمية المتجه تحتوي على حجمه، اتجاهه وتسارعه وقوته ونزوحه، والكمية العددية لها حجم واحد فقط لذلك في عملية معرفتها لا يكون الاتجاه عاملًا مهمًا .
• ومثال على ذلك عمليات معرفة السرعة أو الوقت أو المسافة، ولابد مراعاة تلوين الحروف المستخدمة في تمثيل المتجهات بخطًا داكن اللون، فمثلًا عندما يتم تمثيل سرعة كائن فيزيائي ما بخط على الإحداثيات يجب أن يكون لون هذا الخط داكن.
• أما متجه الوحدة هو عبارة عن كل متجه ذو حجم واحد، وهناك منه ثلاث متجهات مشهورة في استخدامها في العمليات الفيزيائية وهذه المتجهات المحورية هي z,x,y .
•   ويتم الإشارة لـ  متجه الوحدة في اتجاه المحور السيني بـ i، أما المتجه المشترك بين اتجاه محور Y واتجاه محور Z  هو متجه الوحدة K.
• وتعمل هذه الرموز على تسهيل عمليات تحديد النواقل خصوصًا في حالة إضافة متجهين معًا.
• وتم استنتاج الناتج النهائي من خلال إضافة المتجهات من طرف لآخر، ولكن إذا تم تحديد المتجهات في نموذج متجه الوحدة فليس هناك أي حل غير إضافة القيم الأخرى وهي I,K,J.
• وهنا وضع فيثاغورس نظرية لها قانون خاص يساعد في الحصول على الناقلات وهو (ai + bj = √ (a2 + b2.

طريقة رسم المتجهات

يبدأ الأمر عند رسم سهمًا له رأس وهي البداية وله ذيل وهو النهاية، ويصف هذا السهم حجم المتجه من خلال الطول ومن ثم تتم كتابة المتجهات على السهم برموز مختلفة الألوان ويمكن تطبيق ذلك عمليًا من خلال الآتي:

• هناك في أرض المعلب لاعب يركض 10 أميال في الساعة باتجاه منطقة النهاية.
• إذا فإن لدينا لإحداثيات بـ 10 ميل في الساعة، وإذا كان الملعب درجة حرارته 15 ْ فهذه كمية عددية سيكون لها تأثير وقد تعد من الناقلات.

سمات خاصة للمتجهات

• إذا كانت جميع المتجهات تمتلك نفس الحجم والاتجاه، يؤدي ذلك إذا قمنا بترجمة أحد هذه المتجهات إلى الحصول على نفس المتجه الذي كان يتواجد منذ البداية.
• أكبر الكميات الفيزيائية التي تتمثل في عملية المتجهات هما عملتي القوة والسرعة.
• إن الكميات الفيزيائية التي تتمثل في “القوة، العمل، السرعة، والطاقة” تتخذ صفة الكميات العددية أو الناقلات.
• إن متجهات الوحدة لا يزيد حجمها عن 1 وهو حجم ثابت دائمًا.
• لا يتم تحديد المتجهات إلا في مجال فضائي ثنائي أو ثلاثي الأبعاد لا غير ذلك.
• إن موقع المتجه لا يتأثر بحجم أو اتجاه متجه آخر، إلا في حالة تمديد الموجه من خلال تحريك رأسه.

أهمية المتجهات في الرياضيات

• يتم استخدام المتجهات الرياضية في ريم الفضاء في نظام الإحداثيات، وهو عبارة عن نظام ثلاثي الأبعاد يتكون من مجموعة لا تنتهي من الأعداد المرتبة بأرقام حقيقية لا خيالية لتعطي قيمة إحداثيات النقطة.
• تستخدم المتجهات لوصف حجم واتجاه كائن فيزيائي معين لذلك يتم تمثيله من خلال سهم مرسوم ويكون هذا السهم مدببًا ويمثل الحجم الموجه.
• تستخدم عملية المتجهات الرياضية لتحديد المعلومات المادية للظواهر الطبيعية كالرياح حيث يتم حساب الكمية المتجهة من مكان محدد على سبيل المثال الشمال الشرقي وحساب الحجم والذي يكون بهذه الصورة 45 كم في الساعة.
• وتستخدم المتجهات أيضًا لمعرفة ما سيحدث عند اصطدام كائنان حيث تعمل المتجهات على إنقاذ الموقف من خلال تغيير الإحداثيات لإنشاء متوازي أضلاع لرسم اتجاهين جديدان، مثال على ذلك في مجال القطارات والطائرات.

تعريف المتجهات

تتمثل المتجهات في الأمور المطلوبة لعملية نقل النقطة أ إلى النقطة ب، وتجدر الإشارة إلى أن أول من استخدم مصطلح المتجهات هم علماء الفلك، فقد استخدموها في القرن الثامن عشر، وأوضحوا أن حجم المتجهات يشير إلى المسافة بين نقطتين وتشير كذلك إلى اتجاه النقل من النقطة ” أ ” إلى النقطة “ب”.

هناك مفهوم آخر للمتجهات أكثر شمولية من المفهوم السابق هو أنها عبارة عن عدد من عناصر المساحة الناقلة، ومن الجدير بالذكر أنها مفيدة في الكثير من الدراسات العملية، ولكنها غير كافية لقياس قوة معينة بل ينبغي لقياس القوة التعرف على مقدارها واتجاهها.

خصائص المتجهات

تمتلك المتجهات العديد من الخصائص التي تميزها عن الكميات الأخرى فخصائص الكميات المتجهة أشمل من خصائص الكميات القياسية ويرجع السبب في ذلك إلى أن الكميات المتجهة تحتاج إلى مقدار واتجاه ليتم التعبير عنهما، ومن أبرز خصائص الكميات المتجهة الآتي:

• جمع المتجهات: المتجهات قابلة للجمع حيث يمكن تجميعها من خلال جمع مركبات المتجه مع بعضها البعض حيث يتم جمع المركب السيني مع المركب الصادي مع المركب العيني، وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن استخدام الطريقة الهندسية في جمع المتجهات من خلال تمثيل المتجه الأول ووضع المتجه الثاني على رأس المتجه الأول، ثم يتم رسم ذيل المتجه الأول ورأس المتجه الثاني ومن خلال إجراء هذه الخطوات يتم الحصول على ناتج جمع المتجهات.
• تساوي المتجهات: في حالة امتلاك المتجهين لنفس الطول يصبحان متساويان، وحينها يشيران إلى نفس الاتجاه، فمثلًا إذا كان المتجهان يشيران إلى الجنوب ومقدار كلًا منهما 10 يمكننا القول بأن المتجهان متساويان.
• ضرب المتجهات: من ضمن خصائص المتجهات أنها قابلة للضرب وينقسم ضرب المتجهات إلى نوعين وهم الضرب القياسي والضرب الاتجاهي.
• ضرب متجه في كمية قياسية: هذه العملية تتحكم في تغيير طول المتجه وليس تغيير المقدار أما بالنسبة للاتجاه فلن يتأثر عند ضرب أي رقم.
• طرح المتجهات: عملية طرح المتجهات تشبه عملية جمعها ولكن الفارق بينهم أنه بدل القيام بجمع المتجهين يتم إضافة المتجه الأول إلى سالب المتجه الثاني، أي يتم إضافة المتجه الثاني للمتجه الأول بعدما يتم عكسه.
• المتجه سالب: يشير المتجه السالب إلى الرقم الذي ينتج عنه رقم صفر في حين طرحه من أحد المتجهات، وتجدر الإشارة إلى أن المتجه السالب يمتلك نفي مقدار نسخته الموجبة ولكنه في الاتجاه المعاكس له أن أن الفاصل بينهم يقدر بحوالي 180ْ.

مميزات المتجهات

• تتميز المتجهات بأنها تتيح إمكانية توفير الجهات الخاصة بالعقار.
• تساعد على التفريق بين الكميات المتجهة والكميات السلمية والمعروفة باسم الكميات العددية أو الكميات القياسية.
• يساهم هذا التطبيق في العمل على توضيح الفرق بين الكميات المتجهة والكميات السليمة.
• تساهم الكميات المتجهة في تصنيف الكميات الفيزيائية إلى كميات عددية وكميات متجهة، وقد تستخدم الرسم في تمثيل هذه المتجهات بحيث يتم تحليل المتجهات في العديد من المستويات التي تحتوي على محورين متعامدين وذلك لإيجاد قيمة خاصة بالمتجهات التي يتم التعرف عليها من خلال المركبات السينية والصادية الخاصة به.

يمكنكم الإطلاع على مزيد من المعلومات حول:(بحث عن اهمية الرياضيات).

المصادر:1 ، 2.