شرح حجم المخروط الدوراني ، سنتناول الحديث اليوم عن واحد من أهم الأشكال الهندسية، التي نشاهدها كثير عبر حياتنا اليومية على سبيل المثال قمع الآيس كريم و هذا الشكل هو المخروط الدائري، و من خلال مقالتي سنتعرف على مفهومه، بالاضافة لبعض القوانين الهامة مثل: حجم المخروط الدوراني ، من خلال موسوعة.
مفهوم المخروط الدوراني(Cone) :
هو ذلك المجسم الثلاثي الذي به قاعدة واحدة فقط دائرية و هي متصلة بنقطة خارجية لا تنتمي لمنحى القاعدة، و تسمى تلك النقطة برأس المخروط، ويطلق على المنحى الخط الدليلي، كما أننا نستطيع أن نسميه بالهرم الدائري.
و إذا قمنا بتجربة عملية و أتينا بمثلث قائم الزاوية، و قمنا بدورانه حول أحد ضلعي الزاوية القائمة بزاوية تساوي 360 درجة، فيصبح الخط الدليلي على شكل دائرة، و الان سوف نلاحظ أن الشكل الذي ينتج من الدوران هو مخروط دائري.
إذا كان العمود الذي يصل من رأس المخروط لمركز الدائرة عمودي عليها هنا يطلق عليه مخروط دائري قائم .
كما أنه يسمى مخروط دائري مستقيم إذا كانت نقطة مركز الدائرة تقع أعلى أو أسفل رأس المخروط مباشرة .
قانون حساب حجم المخروط الدوراني :
نستطيع حساب حجم المخروط الدائري من خلال معرفة نصف قطر القاعدة ( نق ) و الارتفاع لذل المخروط و صيغة القانون كالتالي :
حجم المخروط الدائري = الارتفاع × مساحة القاعدة ÷ 3
أي أن الحجم = ل × (ط × نق² ) ÷ 3
حيث أن :
( نق²) تعبر عن نصف قطر الدائرة مرفوع لأس اثنين، أي طول قطر الدائرة .
( ط ) قيمة ثابتة تساوي 22 / 7 أو 3.14 .
( ل ) تعبر عن ارتفاع المخروط الذي يمثل المسافة من رأس المخروط إلى مركز الدائرة .
و لا ننسى أن حجم الأسطوانة مساوي ل3 أضعاف حجم المخروط الذي يشترك معها بالارتفاع و القاعدة.
خطوات حساب الحجم :
- أولا نقوم بكتابة صيغة القانون الذي سوف نعوض فيه كالتالي : حجم المخروط الدائري = الارتفاع × مساحة القاعدة ÷ 3 .
- ثانيا نقوم بحساب مساحة قاعدة المخروط التي تساوي مساحة الدائرة من خلال استخدام القانون التالي : مساحة الدائرة = (ط × نق² ) .
- و اخيرا نقوم بضرب ارتفاع المخروط في مساحة القاعدة و من ثم قسمة ناتج الضرب على 3 .
أمثلة توضح حساب حجم المخروط :
مثال 1 :
قم بحساب حجم المخروط الدائري إذا كان ارتفاع المخروط هو 7 متر و قطره يساوي 9 متر
الحل :
- نكتب صيغة القانون كالتالي : حجم المخروط الدائري = الارتفاع × مساحة القاعدة ÷ 3 .
- نحسب مساحة قاعدة المخروط من خلال استخدام القانون التالي : مساحة الدائرة = (ط × نق² ) .
لكننا هنا سنلاحظ أن المعطى هو طول القطر لكننا نحتاج طول نصف القطر لذلك سوف نقوم بقسمة طول القطر على 2 كالتالي :
- نق = طول قطر القاعدة ÷ 2
- نصف قطر القاعدة = 9 ÷ 2 = 4.5 م
إذا
- مساحة الدائرة = ط × نق²
- مساحة القاعدة = 3.14 × (4.5)² = 63.585 متر مربع
- إذا حجم المخروط = 7 × ( 63.585) ÷ 3 = 148.365 متر مكعب .
مثال 2 :
قمع آيس كريم يشكل مخروط دائري. مملوء بأيس كريم حتى حافة القمع. علما بأن نصف قطر القمع المخروطي هو 3 سم وارتفاعه 10 سم، قم بحساب حجم الآيس كريم داخل ذلك المخروط .
الحل :
- في البداية نكتب صيغة القانون كالتالي : حجم المخروط الدائري = الارتفاع × مساحة القاعدة ÷ 3 .
- و الان نحسب مساحة قاعدة المخروط من خلال قانون مساحة الدائرة = (ط × نق² ) كالتالي : مساحة القاعدة = 3.14 × (3)² = 28.26 سم2 .
- و من خلال التعويض في قانون الحجم = 10 × ( 28.26 ) ÷ 3 = 94.2 سم3 .
مثال 3 :
أحسب حجم مخروط دائري قائم، إذا كان مشترك مع أسطوانة دائرية في ارتفاعها و نصف قطر قاعدتها، علما بأن حجم الأسطوانة هو 3360دسم³.
الحل :
بما أننا إذا نستطيع أن نقول حجم المخروط =ثلث حجم الأسطوانة التي يشترك معها في الارتفاع والقاعدة.
حجم المخروط = 33360 ÷ 3 = 11120سم³.
إذا حجم المخروط الدائري قائم الزاوية هو 11120سم³