مساحة المثلث من أهم موضوعات البحث في مجال الرياضيات؛ المثلث هو يتكون من 3 أضلاع و 3 زوايا و 3 رؤوس تتكون نتيجة التقاء الأضلاع ومن خصائص المثلث: مجموع طولي أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث وأنواع المثلث تختلف باختلاف طول الأضلاع وقياس الزوايا ويسمي المثلث بأسماء رؤوسه وتختلف طريقة حساب مساحة المثلث باختلاف نوع المثلث حيث ان المثلث ودراسته من أهم الدراسات في مجال الرياضيات على موقع الموسوعة.
مساحة المثلث
هناك عدة قوانين لحسابها ويختلف القانون المستخدم باختلاف المعطيات من حيث قياس الزوايا وطول الأضلاع إذا عرف :
- طول القاعدة و الارتفاع: إذا كان معلوم طول أحد أضلاع المثلث وطول الارتفاع (وهو الخط المستقيم بين منتصف الضلع المعروف طوله والزاوية المقابلة له).
(مساحة المثلث = 1/2 طول القاعدة * الارتفاع.)
مثال: مثلث طول ضلعه 6 سم وطول ارتفاعه 7 سم أوجد مساحته.
الحل: مساحة المثلث = 1/2 طول القاعدة * الارتفاع = 1/2 * 6 * 7 = 3 * 7 = 21 سم مربع.
إذا كان المثلث قائم الزاوية والمعطيات هي طول ضلعي الزاوية القائمة و ارتفاع المثلث يمكن معرفة طول القاعدة من خلال قانون فيثاغورس
مربع الوتر (قاعدة المثلث القائم) = مربع طول الضلع الأول + مربع طول الضلع الثاني.
مثال: مثلث أ ب ج قائم الزاوية في ب ارتفاعه 4 سم وطول ضلعي الزاوية القائمة 3سم و4سم أوجد مساحة المثلث.
الحل: مربع طول الوتر = مربع الضلع الأول + مربع الضلع الثاني = (3)² + (4)² = 9 + 16 = 25.
طول التر = جذر 25 = 5 سم.
المساحة = 1/2 طول القاعدة * الارتفاع =1/2 * 5 * 4 = 1/2 * 20 = 10 سم.
- طول ضلعين والزاوية المحصورة بينهما: الزاوية المحصورة يقصد بها الزاوية التي تكونت نتيجة التقاء الضلعين المعروف طولهما.
(مساحة المثلث = 1/2 طول الضلع الأول * طول الضلع الثاني * جا الزاوية المحصورة بينهما).
مثال: مثلث ل م ن طول ضلعي الزاوية 20 و50 على التوالي وقياس الزاوية المحصورة بينهما 60 درجة. أوجد مساحته.
الحل: مساحة المثلث = 1/2 طول الضلع الأول * طول الضلع الثاني * جا الزاوية المحصورة بينهما.
المساحة= 1/2 * 20 * 50 * جا 60 = 866 سم مربع.
- أطوال أضلاع المثلث الثلاثة: تكون معطيات هي أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث.
مساحة المثلث = 1/2 محيط المثلث * ( 1/2 المحيط – طول الضلع الأول) * ( 1/2 المحيط – طول الضلع الثاني) * (1/2 المحيط – طول الضلع الثالث).
مثال: مثلث أطوال أضلاعه 8 سم، 10 سم، 6 سم أوجد مساحته.
الحل: محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه = 8 + 10 + 6 = 24 سم.
1/2 محيط المثلث = 24 / 2 = 12 سم.
مساحة المثلث = 1/2 محيط * ( 1/2 المحيط – طول الضلع الأول) * ( 1/2 المحيط – طول الضلع الثاني) * (1/2 المحيط – طول الضلع الثالث).
المساحة =12 * (12 – 8) * (12-10) * (12-6) = 12 * 4 * 2 * 6 = 567 سم مربع.
- قياس زاويتين وطول ضلع: في بعض المسائل الهنديه تكون المعطيات قياس زاويتين في المثلث وطول أحد الأضلاع ويطلب معرفة مساحة المثلث.
مساحة المثلث = مربع طول الضلع * جا الزاوية الأولى * جا الزاوية الثانية / 2 * جا الزاوية الثالثة.
مثال: مثلث طول أحد الأضلاع 6 سم وقياس الزاويتين المجاورتين 65 ، 35. احسب مساحة المثلث.
الحل: قياس الزاوية الثالثة = 180 – ( 65 + 35) = 180 – 100 = 80 درجة.
مساحة المثلث = مربع طول الضلع * جا الزاوية الأولى * جا الزاوية الثانية / 2 * جا الزاوية الثالثة.
المساحة = 12 * جا 65 * جا 35 / 2 * جا 80.
المساحة = 12 * 0.9336 * 0.5735 / 2 * 0.9848.
المساحة = 3.16 سم مربع بالتقريب 3 سم مربع.
أنواع المثلثات
حسب أطوال الأضلاع
- مثلث متساوي الساقين.
- مثلث متساوي الأضلاع.
- مثلث مختلف الأضلاع.
حسب قياس الزوايا
- حاد الزوايا.
- قائم الزاوية.
- منفرج الزاوية.
خصائص المثلثات
- كل مثلث له 3 أضلاع، 3 زوايا، 3 رؤوس.
- مجموع قياس زوايا أي مثلث تساوي 180 درجة.
- طول أي ضلع في المثلث أصغر من مجموع طولي الضلعين الآخرين.
- يحدث تطابق المثلثات إذا كانت الزوايا متساوية وأيضًا الأضلاع متساوية.
- تتشابه المثلثات إذا تساوى الزوايا المتناظرة أو الأضلاع المتناظرة.
- مجموع قياسي أي زاويتين في المثلث يساوي قياس الزاوية الخارجة للمثلث.
وللتعرف بصورة أوسع على المثلثات يمكن قراءة المواضيع التالية:
- امثلة حساب مساحة المثلث.
- أنواع المثلثات.
- زوايا المثلث وعلاقتها بأضلاعه.