شرح قانون الفرق بين مربعين

شرح قانون الفرق بين مربعين ، المربع يمثل أحد الأشكال الهندسية، التي تتميز بأن جميع أطوال أضلاعها متساوية، و نحسب مساحته عن طريق ضرب الضلع في نفسه، و إذا أردنا  حساب الفرق بين مساحة مربعين، عندها نحتاج لتطبيق قانون الفرق بين مربعين، و هنا السؤال ما هو ذلك القانون وو ما هي خطوات الحل، سنتعرف على كل ذلك من خلال المقال التالي على موسوعة، كما سنعرض لكم الكثير من الأمثلة التي تسهل لنا خطوات الحل .

مفهوم الفرق بين مربعين :

نعني بكلمة مربع اي ضرب اي عدد في نفسه و ذلك نفس ما نقصده في قانون مساحة المربع، من خلال حساب حاصل الضرب لطول الضلع مضرب في نفسه، ومن خلال رجدول الضرب نعرف أن مربع العدد 1 يساوي (1)، و مربع العدد 2 هو (4)، و مربع العدد 3 هو (9)، و العدد 4 هو (16)، و مربع العدد 5 هو (25)، و مربع العدد6 هو (36)، و هكذا من خلال ضرب العد في نفسه أو تربيعه.

و عندما نأتي بمربعين و يوجد بينهم اختلاف عندها يكون الفرق بين مساحة المربع الأول و مساحة المربع الثاني يساوي الفرق بين المربعين .

شرح قانون الفرق بين مربعين :

نستطيع إيجاد افرق بين مربعين بكل سهولة من خلال استخدام القانون التالي:

الفرق بين مربعين = ( مجموع الجذر التربيعي لكلا المربعين ) × ( فرق الجذر التربيعي لكلا المربعين ).

أو بصورة أخرى :

س² – ص² = (س + ص) × (س – ص)

خطوات تحليل الفرق بين مربعين :

لكي يتم تحليل الفرق بين مربعين لعوامله، في البداية علينا أن نتأكد أن المقدار على شكل الصورة العامة و هي : س²- ص²، و يجب التأكد أن الإشارة الموجودة بين المقدارين هي سالب ، ثم بعد ذلك  نستطيع التحليل من خلال الخطوات الأتيه :

1. اولا : نقوم بفتح قوسين من أجل الرمز لوجود علاقة ضرب بين المقدارين و يكونان على هذا الشكل ( ) ( ) .
2. ثانيا : نقوم بوضع إشارة موجب في أول قوسين، و نضع إشارة سالب في ثاني قوس، يكون بذلك الشكل ( + ) ( – ) .
3. ثالثا : و الان نقوم بكتابة جذر أول حد في كلا القوسين، و يكون بذلك الشكل ( س + ) ( س – ) .
4. رابعا : ثم كتابة جذر ثاني حد في كلا القوسين بعد الاشارة، كالشكل التالي( س + ص ) ( س – ص ) .
5. خامسا : و بتلك الطريقة تنتج معنا الصورة العامة لقانون تحليل الفرق بين مربعين، و يكون في الشكل التالي :

س² – ص²= (س + ص) ( س – ص )

حيث أن :

س²: هو مربع الحد الأول .

ص²: هو مربع الحد الثاني .

س : الجذر التربيعي للحد الأول .

ص : الجذر التربيعي للحد الثانبي .

و بصورة أخرى :

( مربع الحد الأول – مربع الحد الثاني ) = ( الحد الأول + الحد الثاني ) ( الحد الأول – الحد الثاني ) .

أمثلة لتطبيق قانون الفرق بين مربعين :

مثال 1 :

حلل المقدار التالي إلى عوامله الأولية ( 4 – 9 )

الحل :

قبل أن نبدأ في خطوات الحل نتأكد أن المقدار على شكل الصورة العامة ( س² – ص² ) و أن الإشارة بين الحدين سالب مما يعني :

أن الجذر التربيعي ل 4 = 2 ، و الجذر التربيعي ل 9 = 3 ، أي أن المقدار ( ²2 –  ²3 ) و بعد ذلك نتبع خطوات الحل كالتالي:

• نقوم بفتح قوسين ( ) ( ) .
• نضع إشارة موجب في أول قوسين، و نضع إشارة سالب في ثاني قوس (  –  ) (  +  ) .
• ثم نكتب الجذر التربيعي لأول حد و هو 2 في كلا القوسين، ( 2 –  ) ( 2 +  ) .
• و بعد ذلك نكتب الجذر لثاني حد في كلا القوسين بعد الاشارة، كالتالي : ( 2 – 3 ) ( 2 + 3 ) .

مما يعني أن تحليل المقدار ( ²2 –  ²3 ) = ( 2 – 3 ) ( 2 + 3 ) .

مثال 2 :

قم بتحليل المقدار الجبري التالي : ( ص² – 25) إلى عوامل الأولية .

الحل :

أول خطوات الحل نتأكد أن المقدار على شكل الصورة العامة ( س² – ص² ) و أن الإشارة التي بين الحدين إشارة سالب مما يعني :

الجذر التربيعي ل (ص²) = ص ، حيث أن ص × ص = ص² ، كما أن الجذر التربيعي ل 25 = 5 و الاشارة بين الحدين سالب، إذا نطبق خطوات الحل :

• نقوم بفتح قوسين ( ) ( ) .
• نضع إشارة موجب في أول قوسين، و نضع إشارة سالب في ثاني قوس (  –  ) (  +  ) .
• ثم نكتب الجذر التربيعي لأول حد و هو ص في كلا القوسين، ( ص –  ) ( ص +  ) .
• و بعد ذلك نكتب الجذر لثاني حد و هو 5 في كلا القوسين بعد الاشارة، كالتالي : ( ص – 5 ) ( ص + 5 ) .

و الان الصورة النهاية للتحليل هي : ( ص² – 25) = ( ص² – ²5) = ( ص – 5 ) ( ص + 5 ) .

مثال 3 :

قم بتحليل المقدار الجبري التالي : ( 49 – ع² ) إلى عوامل الأولية .

الحل : 

كما فعلنا في السابق، نتأكد أن المقدار على شكل الصورة العامة ( س² – ص² ) و أن الإشارة التي بين الحدين إشارة سالب، و نقوم بإيجاد الجذر التربيعي لكلا الحدين :

الجذر التربيعي ل (49) = 7 ، حيث أن 7 × 7 = 49 ، كما أن الجذر التربيعي ل ع²= ع و الاشارة بين الحدين سالب، و الان نطبق خطوات الحل :

• أولا نقوم بفتح قوسين ( ) ( ) .
• ثم نضع إشارة موجب في أول قوسين، و نضع إشارة سالب في ثاني قوس (  –  ) (  +  ) .
• و نكتب الجذر التربيعي لأول حد و هو 7 في كلا القوسين، ( 7 –  ) ( 7 +  ) .
• و بعد ذلك نكتب الجذر لثاني حد و هو 5 في كلا القوسين بعد الاشارة، كالتالي : ( ص – 5 ) ( ص + 5 ) .

و الان الصورة النهاية للتحليل هي : ( 49 – ع² ) = ( 49 – ع² ) = ( 7 – ع ) ( 7 + ع ) .