شرح مبسط المضاعف المشترك الأضغر والأكبر

الكثير من الطلاب تواجههم مشكلة حساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين أو أكثر، و أيضا الكثير منا لا يستطيع التفريق بين حساب العامل المشترك الأكبر و بين المضاعف المشترك الأصغر، و هنا سنساعدكم في حل تلك المشكلة و سنعرف سويا أسهل الطرق للتفريق ومعرفة ما هو المضاعف المشترك الأصغر من خلال موسوعة .

المضاعف المشترك الأصغر :

هو أصغر عدد مضاعف للعددين يكون موجب الإشارة و أيضا صحيح، ما عادا رقمين الصفر و واحد، و يرمز له من خلال ( م.م.أ ) خلال اللغة العربية لكن في اللغة الإنجليزية ( LCM )، مما يعني أنه نستطيع القيام بعملية القسمة للمضاعف المشترك الأصغر على العددين و لا يكون لدينا باقي في الناتج .

كما بإمكاننا الاستفادة من المضاعف المشترك الأصغر في حساب الأعداد التي تكون مشتركة مضاعفة و ذلك بين أي رقمين صحيحين، و يمكننا حسابه عن طريق حساب المضاعفات للعدد الأول، ثم العدد الثاني، و أخيرا نبحث عن أصغر رقم يكون مشترك في مضاعفاتهما .

مثال :

أوجد قيمة المضاعف المشترك الأصغر للعددين (4 و 6) .
الحل :

أولا نكتب المضاعفات للعددين 4 و 6 كالتالي :

العدد 4 مضاعفاته هي 4، 8، 12، 16، 20، 24، 28، 32، 36 …. و هكذا .
العدد 6 مضاعفاته هي 6، 12، 18، 24، 30، 36، 42، 48…. و هكذا .

ثانيا نقوم بالبحث عن العدد الأصغر المشترك بين مضاعفاتهما :

عندما ندقق النظر و نبحث سنجد أن العدد 12 هو المضاعف الشترك الأصغر بين هذان العددان .

استخدامات ( م . م. أ ) :

1.  يستخدم من أجل توحيد المقامات في الكسور، و ذلك عندما نقوم بعمليتي الجمع و الطرح أيضا، بحيث أنه لا نستطيع القيام بأي من العمليتين إذا كانت قيم المقامات في الكسور مختلفه، و يتم التوحيد عبر الضرب لبسط ومقام الكسرين بقيمة المضاعف المشترك الأصغر، و بعد ذلك سوف نحصل على مقادير متساوية نستطيع بعدها إتمام أي من العمليتين الجمع و الطرح.
2. يساعدنا ليك نجد الأعدادا التي ممكن قسمتها على الرقمين أو أكثر.
3. عبر بعض المسائل الحسابية.

الفرق بين المضاعف المشترك الأصغر و العامل المشترك الأكبر :

على سيبل المثال 1 :

احسب العامل ( القاسم ) المشترك الأكبر للعديدين 12 و 15

الحل :

أولا نقوم بالبحث عن العوامل الأولية لكلا العددين 12 و 15 كالتالي :

العوامل الأولية للعدد 12 = 3 × 2 × 2

العوامل الأولية للعدد 15 = 3 × 5

ثانيا نقوم بالبحث عن العوامل و الأعداد المشتركة بين عوامل 12 و 15

ومن خلال البحث نجد أن العامل 3 هو المشترك فقط .

لذلك نقول أن القاسم المشترك الأكبر هو 3 .

على سبيل المثال 2 : 

احسب المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12 و 15

الحل : 

أولا نكتب المضاعفات للعددين 12 و 15 كالتالي :

العدد 12 مضاعفاته هي : 12 ، 24 ، 36 ، 48 ، 60 ، 72 ، 84 ، …. و هكذا .

العدد 15 مضاعفاته هي : 15 ، 30 ، 45 ، 60 ، 75 ، 90 ، 105ّ ، … و هكذا .

ثانيا نقوم بالبحث عن العدد المشترك الأصغر بين الرقمين 12 و 15

و من خلال البحث نجد أن العدد المشترك الأصغر هو 60

مشكلة التفريق بين حساب القاسم المشترك الأكبر و المضاعف المشترك الأصغر :

ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴنهم : 

• العامل المشترك الأكبر لعددين هو ناتج ضرب العوامل المشترك للرقمين و التي تمتلك أس أصغر .
• المضاعف المشترك الأصغر لعددين هو حاصل ضرب عواملهم المشتركة و غير المشتركة  للرقمين و التي تمتلك أس الأكبر .

ﻣﺜﺎﻝ 1 :

ﻣﺎ هو ﺍﻟﻘﺎﺳﻢ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷ‌ﻛﺒﺮ ﻟﻠرقمين 6 ، 3 ؟

الحل : 

أولا نقوم بالبحث عن العوامل الأولية لكلا العددين 6 و 3

العوامل الأولية للعدد 6 = 2 × 3

العوامل الأولية للعدد 3 = 3 × 1

ثانيا نقوم بالبحث عن ﺍﻟﻌﻮﺍﻣﻞ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷ‌ﺱ ﺍﻷ‌ﺻﻐﺮ ﻭ هي 3

ﻭ ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ نقول أن ﺍﻟﻘﺎﺳﻢ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷ‌ﻛﺒﺮ ﻟﻠﻌﺪﺩﻳﻦ هو 3

ﻣﺜﺎﻝ 2 :

ﻣﺎ هو ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻒ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷ‌ﺻﻐﺮ ﻟﻠﻌﺪﺩﻳﻦ 6 ، 3 ؟

الحل : 

أولا نكتب المضاعفات لكلا العددين 6 و 3

مضاعفات العدد 6 هي = 6، 12، 18، 24، 30، 36، 42، 48…. و هكذا .

مضاعافات العدد 3 هي = 3، 6، 9، 12، 15، 18، 21، 24، … وهكذا .

ثانيا نقوم بالبحث عن العدد المشترك الأصغر بين الرقمين و هو 12 حيث لا يمكننا أن نقول العدد 6 لأنه نفس العدد للعدد 6 .

طريقة أخرى للحل : 

إذا قمنا بالتحليل للأعدادد الأولية للرقمين :

العوامل الأولية للعدد 6 = 2 × 3

العوامل الأولية للعدد 3 = 3 × 1

و هنا نأخذ العوامل المشتركة ﻭ الغير ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ بين العددين صاحبة ﺍﻷ‌ﺱ ﺍﻷ‌ﻛﺒﺮ ﻭ هي  2 ، 3  ، 1

إذا يكون ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻒ ﺍﻟﻤﺸﺘﺮﻙ ﺍﻷ‌ﺻﻐﺮ ﻟﻠرقمين = 3 × 2 × 1 = 6

المراجع :

1