اثبات قانون حد المتسلسلة الحسابية

سنتحدث اليوم عن اثبات قانون المتسلسلة الحسابية ، وماذا تعنى هذه الكلمة ، سنقدم هنا الشرح المقتبس عن عدد من المتخصصين في الرياضيات والحسابات، فتابعونا لحل عقدة هذا الدرس الذي تسبب في الكثير من سوء الفهم للطلاب والمدرسين المبتدئين ايضاً عبر موسوعة.

قوانين المتتالية الحسابية والهندسية:

في علوم الرياضيات، تعرف كلمة أو مصطلح المتتالية الهندسية يشير الى متتالية من الأعداد كل حد  من حدود هذه المتتالية ، يكون موضعه بعد الأول الذي يتم الحصول عليه عن طريق  ضرب الحد لسابق، اى العدد الذي قبله في عدد ثابت ومعروف، غير منعدم، هذا العدد يسمي بقدر النسبة أو مقدار النسبة،(ويعرف علماء الرياضيات هذا كذلك بالأساس أو انه يسمى بالنسبة المشتركة)

أما عن شكل المتتالية الحسابية فيختلف شكلها عن شكل المتسلسلة الهندسية الى حد ما، حيث تكون المتتالية الهندسية التي يخالف قدر نسبتها صفر وواحد وناقص واحد في نمو أسي (أو تحلل أسي)، وذلك يعد على خلاف المتتالية الحسابية لأن نموها يكون بشكل آخر، وهو شكل خطى واضح جدا،  اى انه يمكنك التمييز بين المتتالية الحسابية و المتسلسلة الهندسية بشكل واضح.

أمثله للمتتالية الهندسية:

مثال المتتالية 3، 6، 12 ،24… هذه المتتالية الهندسية لها حد اول وهو كما ترى عزيزى القارىء a = 3, ولها أساس واضح أيضا وهو r = 2

ذلك لأن قسمة حد ما على الحد الذي سبقه تعطي دائما العدد اثنين (حيث ان الرقم 6 مقسومة على 3 ( الحد الذي يسبقها)  تعطي 2، وكذلك فإن الرقم 12 مقسومة على الحد الذي يسبقها هو 6 تعطي 2 و كذلك 24 مقسومة على 12 تعطي 2، وهكذا اذا طبقنا الأمر على باقي الحدود).

وحتى نستطيع ايجاد الحد الخامس، على سبيل المثال (n = 5), نقوم بحل المعادلة واتمام المتسلسلة إذاً نجد أن  الحد الخامس يساوي الرقم 48.

كيفية حل المتتالية الحسابية:

يتساءل البعض عن كيفية تمييز المتتالية الحسابية، نشرح لكم ذلك فيما يلي…

• شرح خبراء الرياضيات أنه لكي نعرف ان كانت متتالية حسابية يجب أن نفكر في عمليات (الطرح و الجمع فقط)، مثل ما يلي،  هل يمكنك ان تعرف هل هذه متتالية (1,3,5,7 ) ام لا؟، لو فكرنا قليلا نجد ان الحل هو نعم.
• وذلك الجواب راجع إلى  أن كل عددان متتاليان الفرق بينهما هو فرق ثابت ويمكن للقاريء ان يعرفه ايضا، هو التزايد ب 2 (حيث ان كل عدد يليه عدد اكبر عنه بمقدار الرقم 2) و نرمز الى الفارق في هذه المتتالية الحسابية 2 ب الرمز r و هذا الرقم هو باساس المتتالية الحسابية، ولكل متتالية لها أساس.

شرح اثبات قانون حد المتسلسلة الحسابية :

تتضمن قوانين المتتالية الحسابية : قاعدة الحد العام -بالإضافة إلى قانون أو قاعدة، كما يسميها البعض، الحد النوني

ويمكننا فهم قانون المتتالية من هذه المتتالية الحسابية {3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19} هي متتالية حسابية ، الحد الأول في هذه المتتالية هو أ1 = 3 ، أساس المتتالية د = 2 ، وعدد حدودها = 9

ويمكنك دراسة العلاقة التالية لفهم المتتاليات الحسابية

الحد الثالث أ 3 = 7

= 3 + ( 2 × 2 ) أي أ 1 + 2 د

اما عن الحد التاسع أ9 = 19

= 3 + ( 8 × 2 ) أي أ 1 + 8 د

[ أن = أ 1 + (ن – 1) د ]

وهنا يمكنك ان تلاحظ هنا أن معامل “د” :

في الأحد الثالث أ 3 هو 2 = 3 – 1

وفي الحد التاسع أ9 هو 8 = 9 – 1

ويمكنك تطبيق ذلك على باقي حدود المعادلة لفهم قوانين المتتالية الحسابية التي قدمناها لكم .