بحث رياضيات عن المثلثات

‘);
}

خصائص المثلث

من أهم خصائص المثلث إضافة لما سبق ما ما يأتي:^[٢]

• إذا وازى مستقيم أحد أضلاع المثلث وقطع الضلعيين الآخرين فإنّه يقسم المثلث إلى مثلثات متشابهة ومتناسبة في الطول.
• مجموع أطوال أي ضلعين من المثلث أكبر من طول الضلع الثالث دائماً، وبالمثل الفرق بين أطوال أي ضلعين أقل من طول الضلع الثالث دائماً.^[٥]
• الزاوية الخارجيّة للمثلث تساوي مجموع الزوايا الداخليّة المقابلة لها أو البعيدة عنها،^[٥] ويكون مجموع الزوايا الخارجيّة للمثلث هو 360 درجة.^[٦]
• يقسم الارتفاع المثلث متساوي الساقين والمثلث متساوي الأضلاع القاعدة إلى نصفين متساويين، كما يقسم المثلث إلى مثلثين متساويين.^[٧]

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول خصائص المثلث يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص المثلث.

أنواع المثلثات

أنواع المثلثات حسب طول الأضلاع

يُمكن تقسيم المثلثات حسب طول الأضلاع كما يأتي:^[٨]

• المثلث متساوي الأضلاع: (بالإنجليزية: Equilateral Triangle) هو مثلث له ثلاثة أضلاع متساوية في الطول، وثلاثة زوايا متساوية قياس كلّ منها 60 درجة.
• المثلث متساوي الساقين: (بالإنجليزية: Isosceles Triangle) هو مثلث له ضلعان متساويان في الطول، وزاويتان متساويتان في القياس هما زاويتا القاعدة.
• المثلث مختلف الأضلاع: (بالإنجليزية: Scalene Triangle) هو مثلث ليس لديه أي أضلاع متساوية في الطول، أو زوايا متساوية في القياس.

ملاحظة: يُمكن تمييز الأضلاع المتساوية في الطول بوضع علامة خط مائل عليها.^[٣]

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المثلث متساوي الأضلاع يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة المثلث متساوي الأضلاع.
لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المثلث متساوي الساقين يمكنك قراءة المقالات الآتية: خصائص المثلث متساوي الساقين، قانون مساحة المثلث متساوي الساقين، ارتفاع مثلث متساوي الساقين.

أنواع المثلثات حسب الزوايا

يُمكن تقسيم المثلثات حسب الزوايا التي تحتويها كما يأتي:^[٨]

• المثلث حادّ الزاويا: (بالإنجليزية: Acute Triangle) هو مثلث يكون قياس كلّ زاوية من زواياه أقل من 90 درجة.
• المثلث قائم الزاوية: (بالإنجليزية: Right Triangle) هو مثلث يمتلك زاوية قائمة قياسها 90 درجة،^[٨] ومن أنواع المثلثات قائمة الزاوية الخاصة:^[٥]
  • مثلث (90-45-45): وهو مثلث قائم الزاوية، ويكون قياس كل زاوية من زواياه الأخرى 45 درجة، كما أنه متساوي الساقين، وتكون الأضلاع في هذا المثلث متناسبة بين بعضها بنسبة 1: 1: 2√.
  • مثلث (90-60-30): وهو مثلث قائم الزاوية، ويكون قياس إحدى زواياه 60 درجة والأخرى 30 درجة، كما أنه غير متساوي الساقين، ومختلف الأضلاع، وتكون الأضلاع في هذا المثلث متناسبة بين بعضها بنسبة 1: 3√: 2.
• المثلث مُنفرج الزاوية: (بالإنجليزية: Obtuse Triangle) هو مثلث يمتلك زاوية مُنفرجة قياسها أكبر من 90 درجة.^[٨]

ملاحظات مهمّة:

• أحياناً قد يمتلك المثلث اسمين؛ فمثلاً يُمكن أن يكون المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين في نفس الوقت، لامتلاكه لزاوية قائمة وضلعين متساويين في القياس.^[٨]
• يُطلق على أضلاع المثلث قائم الزاوية أسماءً خاصّة، فالضلع المقابل للزاوية القائمة يُسمّى الوتر، أمّا الضلعان الآخران فيُسمّيان بالساقين.
• يُمكن استخدام نظريّة فيثاغورس لإيجاد أطوال أضلاع المثلث قائم الزاوية، حيث يساوي مربع الوتر مجموع مربعي الضلعين الآخرين، ويُعبر عن هذه النظرية بالقانون الآتي: (الوتر)²=(الضلع الأول)²+(الضلع الثاني)².^[٤]
• يكون الارتفاع في المثلث قائم الزاوية هو أحد الضلعين المتعامدين على الضلع الآخر، وفي حال اعتبار أحدهما هو الارتفاع فإن الضلع الآخر العمودي عليه هو قاعدة ذلك المثلث.^[٧]

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول زوايا المثلث يمكنك قراءة المقال الآتي: حساب زوايا المثلث.
لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المثلث قائم الزاوية يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون المثلث قائم الزاوية، كيفية حساب أضلاع المثلث القائم، كيفية حساب محيط المثلث القائم، ارتفاع المثلث القائم.

أمثلة متنوعة حول أنواع المثلثات

• المثال الأول: مثلث قياس إحدى زواياه هو °115، ما نوع هذا المثلث حسب زاويته؟^[٩]
  • الحل:
  • بما أنه يحتوي زاوية مُنفرجة قياسها °115 فهو مثلث منفرج الزاوية.

• المثال الثاني: مثلث قياس إحدى زواياه هو °112، ما نوع هذا المثلث حسب زاويته؟^[١٠]
  • الحل:
  • بما أنه يحتوي زاوية مُنفرجة قياسها °112 فهو مثلث منفرج الزاوية.

• المثال الثالث: المثلث أب ج، إذا كان أب=5سم، ب ج=12سم، أج=13، وكان أب يُعامد ب ج، ما نوع هذا المثلث حسب أضلاعه؟^[١٠]
  • الحل:
  • بما أن أطوال أضلاعه مختلفة فهو مثلث مختلف الأضلاع.

• المثال الرابع: مثلث قياس زواياه هي: °46، °63، °71، ما نوع هذا المثلث؟^[١١]
  • الحل:
  • بما أن قياس كلّ زاوية من زواياه أقل من 90 درجة، فهو مثلث حادّ الزوايا.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول أنواع المثلثات يمكنك قراءة المقال الآتي: انواع المثلثات.

تشابه وتطابق المثلثات

يمكن تعريف كل من تطابق المثلثات وتشابهها كما يلي:

• تطابق المثلثات: يكون المثلثان متطابقان حين يكون لهما نفس الشكل ونفس الحجم، وبالتالي نفس الزوايا، ويُرمز له بالرمز (≅)،^[٣] وشروط تطابق المثلثات هي كما يأتي:^[٥]
  • تساوي أطوال الأضلاع (SSS): يتطابق مثلثان عندما تتساوى أطوال أضلاع المثلث الثلاثة مع أطوال أضلاع المثلث المقابل (ضلع، ضلع، ضلع).
  • تساوي طولي ضلعين وقياس الزاوية بينهما (SAS): يتطابق مثلثان عندما يتساوى طول ضلعين من المثلث الأول مع طول الضلعين المقابلين لهما من المثلث الآخر، وتكون الزاوية المحصورة بين الضلعين في كلا المثلثين متساوية (ضلع، زاوية، ضلع).
  • تساوي قياس زاويتين وطول الضلع المشترك بينهما (ASA): يتطابق مثلثان عندما تتساوى زاويتان والضلع المشترك بينهما من المثلث الأول مع الزاويتين والضلع من المثلث الآخر (زاوية، ضلع، زاوية).
  • تساوي طول وتر المثلث وأحد الأضلاع: عندما يتساوى طول وتر مثلث قائم الزاوية وأحد أضلاعه مع طول وتر مثلث آخر قائم الزواية وأحد أضلاعه يكون المثلثان متطابقان.

• تشابه المثلثات: يكون المثلثان متشابهان حين يكون لهما نفس قياس الزوايا، ولكنهما مختلفان في الحجم وأضلاعهما متناسبة، ويُرمز له بالرمز (∽)،^[٣] وشروط تشابه المثلثات هي كما يأتي:^[٥]
  • تناسب جميع الأضلاع (SSS): يتشابه مثلثان إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما (ضلع، ضلع، ضلع).
  • ضلعان وزاوية محصورة بينهما (SAS): يتشابه مثلثان إذا تساوى قياس زاوية من مثلث مع قياس زاوية من مثلث آخر وتناسبت أطوال الضلعين اللذين يحصران هذه الزاوية (ضلع، زاوية، ضلع).
  • تطابق الزوايا (AAA) : يتشابه مثلثان إذا تساوى قياس ثلاث زوايا متناظرة في كليهما (زاوية، زاوية).

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول أنواع المثلثات يمكنك قراءة المقال الآتي: بحث عن تشابه المثلثات.

مساحة المثلث ومحيطه

يُمكن تعريف مساحة المثلث على أنها مقدار الفراغ المحصور داخل المثلث،^[٧] ويُمكن حساب مساحة المثلث بعدّة طرق منها ما يأتي:^[٢]

• حساب المساحة باستخدام أطوال الأضلاع، وهي تساوي نصف طول قاعدة المثلث مضروباً في ارتفاعه:
  • مساحة المثلث=½×طول القاعدة×الارتفاع، وبالرموز: م=½×ق×ع؛ حيث:
    • ق: طول قاعدة المثلث.
    • ع: ارتفاع المثلث.

• حساب المساحة باستخدام صيغة هيرون (بالإنجليزية: Heron’s formula)، وذلك باستخدام القانون الآتي:
  • مساحة المثلث=(س×(س-أ)×(س-ب)×(س-ج))√ حيث:
    • س: نصف محيط المثلث، س=½×(أ+ب+ج).
    • أ: طول الضلع الأول من المثلث.
    • ب: طول الضلع الثاني من المثلث.
    • ج: طول الضلع الثالث من المثلث.

• • عند معرفة طول ضلعين والزاوية المحصورة بينهما:
  • مساحة المثلث= ½×أ×ج×جاب؛ حيث:
    • أ: طول قاعدة المثلث.
    • ج: طول ضلع من المثلث.
    • الزاوية ب: الزاوية المحصورة بين الضلعين أ، ج.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة المثلث يمكنك قراءة المقال الآتي: كيف أحسب مساحة المثلث.

يُمكن تعريف محيط المثلث على أنها المسافة المحيطة بحواف المثلث، وتكون بجمع أطوال أضلاعه الثلاثة:

• محيط المثلث=الضلع الأول+الضلع الثاني+الضلع الثالث، وبالرموز: ح=أ+ب+ج، حيث:^[٨]
• أ: طول الضلع الأول المثلث.
• ب: طول الضلع الثاني المثلث.
• ج: طول الضلع الثالث المثلث.

فمثلاً لحساب محيط مثلث أطوال أضلاعه هي: 203، 208، 145سم، فإن ذلك يكون بجمع أطوال الأضلاع من خلال التعويض في قانون محيط المثلث: ح=أ+ب+ج، ومنه: محيط المثلث=203+208+145، ومنه محيط المثلث (ح)= 556 سم.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محبط المثلث يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون محيط المثلث، قانون محيط المثلث ومساحته.

بعض القوانين المتعلقة بالمثلثات

من القوانين المتعلّقة بالمثلثات، التي يُمكن الوصول إليها بفرض أن مثلث أطوال أضلاعه هي: أ، ب، ج، وقياس زواياه المقابلة للأضلاع هي: اَ، بَ، جَ:^[١٢]

• قانون الجيب: أ÷جا(أَ)=ب÷جا(بَ)= ج÷جا(جَ)؛ حيث:
  • أ: طول الضلع الأول المثلث، اَ: الزاوية المقابلة للضلع أ.
  • ب: طول الضلع الثاني المثلث، بَ: الزاوية المقابلة للضلع ب.
  • ج: طول الضلع الثالث المثلث، جَ: الزاوية المقابلة للضلع ج.

لمزيد من المعلومات حول قانون الجيب يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون الجيب في الرياضيات، قانون الجيب وقانون جيب التمام.

• قانون جيب التمام: أ²=ب²+ج²-2×ب×ج×جتا(أَ)، أو ب²=أ²+ج²-2×أج×جتا(بَ)، أو ج²=ب²+أ²-2×ب×أ×جتا(جَ)؛ حيث:
  • أ: طول الضلع الأول المثلث، اَ: الزاوية المقابلة للضلع أ.
  • ب: طول الضلع الثاني المثلث، بَ: الزاوية المقابلة للضلع ب.
  • ج: طول الضلع الثالث المثلث، جَ: الزاوية المقابلة للضلع ج.

لمزيد من المعلومات حول قانون جيب التمام يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو قانون جيب التمام.
لمزيد من المعلومات حول قوانين المثلثات يمكنك قراءة المقال الآتي: قوانين حساب المثلثات.

أمثلة متنوعة حول المثلثات

• المثال الأول: مثلثان متشابهان، أطوال أضلاع المثلث الأول هي: أ، 3 سم، وأطوال أضلاع المثلث الثاني المقابلة لها هي: 14، 21 سم، ما هي قيمة أ؟^[٣]
  • الحل:
  • بما أن المثلثين متشابهان، فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (3/21)= 0.14.
  • حساب طول الضلع (أ) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (أ/14)=0.14، ومنه أ=2 سم.

• المثال الثاني: إذا كان المثلث أب ج مثلث قائم الزاوية في ج، وكانت د نقطة على الوتر أب، وكان ج د يُعامد أب، وقياس الزاوية دأج=°65، فما هو قياس كلّ من الزاويا: أج د، أب ج؟^[٥]
  • الحل:
  • مجموع زوايا المثلث ∆أج د=180، ومنه ∠أد ج+∠دأج+∠أج د=180، 90+65+∠أج د=180، ومنه ∠أج د=°25.
  • بما أن أج يُعامد أج فإن الزاوية أج ب=90 درجة، وهي تساوي ∠ب ج د+∠أج د، ومنه: ∠ب ج د+∠25=90، ومنه ∠ب ج د=°65.
  • مجموع زوايا المثلث ∆ب دج=180، ومنه ∠ج ب د+∠ب دج+∠ ب ج د=180، ∠ج ب د+90+65=180، ومنه ∠ج ب د=°25، والزاويتان ∠أب ج=∠ج ب د=°25.

• المثال الثالث: مثلثان أطوال أضلاع الأول هي: 5، 11، 12 سم، وأطوال أضلاع الثاني هي: 4، 3، 5 سم، هل هما مثلثان قائما الزاوية؟^[٥]
  • الحل:
  • تعويض قيمة أطوال أضلاع المثلث الأول في معادلة فيثاغورس: أ²+ ب²= ج²، ومنه: (5)²+(11)² هل يساوي (12)²، ثم حساب قيمة الطرف الأيمن: 25+ 122= 147، وحساب قيمة الطرف الأيسر: وهو (12)²=144، وعليه 147≠144 وبما أنّ طرفي المعادلة غير متساويين فبالتالي المثلث الأول ليس قائم الزاوية.
  • تعويض قيمة أطوال أضلاع المثلث الثاني في معادلة فيثاغورس: أ²+ ب²= ج²، (4)²+(3)² هل يساوي (5)²، ثم حساب قيمة الطرف الأيمن: 16+ 9= 25، وحساب قيمة الطرف الأيسر: وهو (5)²=25، وعليه 25=25 وبما أنّ طرفي المعادلة متساويان فبالتالي المثلث الثاني قائم الزاوية.

• المثال الرابع: مثلث طول قاعدته 4 سم، وارتفاعه 10 سم، ما هي مساحته؟^[٧]
  • الحل:
  • التعويض في قانون مساحة المثلث، م=½×القاعدة×الارتفاع، ومنه مساحة المثلث= ½×4×10، ومنه المساحة=20 سم².

• المثال الخامس: مثل أطوال أضلاعه: 5، 6، 7 وحدة طول، ما هي مساحته؟^[٦]
  • الحل: باستخدام صيغة هيرون ينتج أن:
  • حساب قيمة نصف المحيط بالتعويض في قانون نصف محيط المثلث: س=½×(أ+ب+ج)، س=½×(5+6+7)، ومنه س=9.
  • التعويض في صيغة هيرون لإيجاد مساحة المثلث: مساحة المثلث=(س×(س-أ)×(س-ب)×(س-ج))√، ومنه مساحة المثلث= (9×(9-5)×(9-6)×(9-7))√، ومنه ∆=14.7 وحدة².

• المثال الخامس: مثلث طول قاعدته 12 سم، ومساحته 42 سم²، ما هو ارتفاعه؟^[١٣]
  • الحل:
  • بالتعويض في قانون مساحة المثلث ينتج أن: مساحة المثلث= ½×القاعدة×الارتفاع، ومنه: 42=½×12×الارتفاع، ومنه الارتفاع=7 سم.

• المثال السادس: مثلث متساوي الساقين، طول أحد ساقيه 6 سم، وقياس زاوية الرأس هو °36.4، ما هو قياس زوايتي القاعدة؟^[١٣]
  • الحل:
  • بما أن المثلث متساوي الساقين فزوايا القاعدة متساوية القياس، وعلى فرض أن قياس إحدى زوايا القاعدة هو س، ومجموع زوايا المثلث =180، فإن: 2س+36.4=180، ومن س=(180-36.4)÷2=° 71.8.

• المثال السابع: مثلث قائم الزاوية، ارتفاعه 0.3 م، وطول قاعدته 1م، ما هو طول وتره، وما هي مساحته؟^[١٤]
  • الحل:
  • تعويض قيمة أطوال الأضلاع في معادلة فيثاغورس: أ²+ ب²= ج²، لينتج أن: (0.3)²+(1)²= ج²، ومنه ج=1.044م.
  • التعويض في قانون مساحة المثلث: مساحة المثلث=½×طول القاعدة×الارتفاع، ومنه مساحة المثلث=½×1×0.3، ومنه م=0.15 م².

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة المثلث قائم الزاوية يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة المثلث قائم الزاوية.

• المثال الثامن: مثلث متساوي الساقين، قياس زاوية الرأس هو °100، ما هو قياس زوايتي القاعدة؟^[١٥]
  • الحل:
  • بما أن المثلث متساوي الساقين فزوايا القاعدة متساوية القياس، وعلى فرض أن قياس إحدى زوايا القاعدة هو س، ومجموع زوايا المثلث =180، فإن 2س+100=180، ومنه: س=(180-100)÷2=° 40، وهو قياس زاويتي القاعدة.

• المثال التاسع: مثلثان متشابهان أطوال أضلاع الأول هي: 52.3، س، 23.5 سم، وأطوال أضلاع المثلث الثاني هي: ص، 8.6، 7.3 سم، ما هي أطوال الأضلاع المجهولة للمثلثين؟^[١٦]
  • الحل:
  • بما أن المثلثين متشابهين فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (23.5/7.3)= 3.22.
  • حساب طول الضلع (ص) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (52.3/ص)= 3.22، ومنه ص=16.2 سم.
  • حساب طول الضلع (س) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (س/8.6)= 3.22، ومنه س=27.7سم.

• المثال العاشر: مثلث طول ضلعيه هو: ج=7 سم، ب=8 سم، وقياس الزاوية المقابلة للضلع أ (∠أَ)=°33، ما هو طول الضلع(أ)، وقياس باقي الزوايا؟^[١٧]
  • الحل:
  • حساب طول الضلع الثالث من خلال التعويض في قانون جيب التمام: أ²=ب²+ج²-2×ب×ج×جتا(أَ)، ومنه: أ²=(8)²+(7)²-2×8×7×جتا(33)، ومنه أ=4.37 سم.
  • حسب الزاويا المتبقية عن طريق التعويض في قانون الجيب:
    • أ÷جا(أَ)=ب÷جا(بَ)، وذلك لحساب قيمة الزاوية المقابلة للضلع ب، 4.37÷جا(33) = 8÷جا(بَ)، ومنه الزاوية بَ=°86.18.
    • أ÷جا(أَ)=ج÷جا(جَ)، وذلك لحساب قيمة الزاوية المقابلة للضلع ج، 4.37÷جا(33)=7÷جا(جَ)، ومنه الزاوية جَ=°60.82.

• المثال الحادي عشر: مثلث متساوي الساقين، طول أحد ساقيه هو 5 سم، وطول نصف القاعدة 4 سم، ما هو محيطه؟
  • الحل:
  • بما أن المثلث متساوي الساقين فإن ضلعيه متساويان ويساوي كل منهما 5سم، أما طول القاعده فيساوي: 2×4=8 سم.
  • تعويض أطوال الأضلاع في قانون محيط المثلث: ح=أ+ب+ج، لينتج أن: محيط المثلث= 5+5+8= 18 سم.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط المثلث متساوي الساقين يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون محيط المثلث متساوي الساقين.

• المثال الثاني عشر: مثلث ∆أب ج قياس زواياه هو ∠أب ج=4س+3، ∠أج ب=2س+6، ∠ب أج=3س، ما هي قيمة س، وما قياس الزاوية ∠ب أج؟^[١٨]
  • الحل:
  • مجموع زوايا المثلث ∆أب ج=180، وعليه: ∠أب ج+∠أج ب+∠ب أج=180، ومنه (4س+3)+( 2س+6)+( 3س)=180، 9س+9=180، وبحل المعادلة ينتج أن قيمة س=19.
  • تعويض قيمة س في ∠ب أج=3س، ومنه ∠ب أج=3×19، بالتالي قياس ∠ب أج= 57 درجة.

• المثال الثالث عشر: إذا كان قياس زاوية القاعدة لمثلث متساوي الساقين أكثر بـ 10 مرات من ضعفي زاوية الرأس، ما هو قياس زاوية الرأس؟^[١٩]
  • الحل:
  • فرض أن قياس زاوية الرأس=س، وبالتالي ينتج أن قياس زاوية القاعدة=2س+10.
  • مجموع زوايا المثلث=180، ومنه زاوية الرأس+ زاوية القاعدة+ زاوية القاعدة=180؛ لأن زوايا القاعدة متساوية في المثلث متساوي الساقين، وعليه: س+(2س+10)+ (2س+10)=180، ومنه 5س=180-20، بالتالي ينتج أن قياس زاوية الرأس س=32 درجة.

• المثال الرابع عشر: تبعُد طائرة مسافة 8 ميلاً غرباً، و 15 ميلاً جنوباً عن وجهتها، ما هي المسافة التي تبعدها الطائرة عن وجهتها؟^[٢٠]
  • الحل:
  • تًشكّل المسافات التي تبعدها الطائرة عن وجهتها مثلثاً قائم الزاوية، وللوصول إلى وجهتها فإن المسافة المستقيمة التي يجب على الطائرة قطعها هي وتر هذا المثلث، الذي يشكّل فيه الضلع الأول بعد الطائرة عن الوجهة من الجهة الغربية، أما الضلع الثاني فهو بعد الطائرة عن الوجهة من الجهة الجنوبية، وبالتالي يُمكن التعويض في معادلة فيثاغورس: أ²+ ب²= ج²، لينتج أن طول الوتر (ج) هو: (8)²+(15)²= ج²، ومنه ج=17 ميل، وهو بعد الطائرة عن وجهتها المقصودة.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول نظرية فيثاغورس يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون نظرية فيثاغورس.

المراجع

1. ↑“What is a Triangle?”, www.splashlearn.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.
2. ^^أبت“Triangle”, www.mathworld.wolfram.com, Retrieved 11-4-2020.
3. ^^أبتثج“Triangles”, www.mathplanet.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.
4. ^^أب“Triangle”, www.mathopenref.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.
5. ^^{أبتثجحخ} MBA Crystal Ball on (16-10-2015), “Triangles properties and types | GMAT GRE Geometry Tutorial”، www.mbacrystalball.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.
6. ^^أب“Triangles”, www.byjus.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.
7. ^^أبتث“Types of Triangles & Their Properties”, www.study.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.
8. ^^أبتثجح“Triangles”, www.mathsisfun.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.
9. ↑“Types of Triangles”, www.mathwarehouse.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.
10. ^^أب“types of triangles review”, www.khanacademy.org, Retrieved 11-4-2020. Edited.
11. ↑“Geometry: Types Of Triangles”, www.onlinemathlearning.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.
12. ↑“Triangles”, www.analyzemath.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.
13. ^^أب“Triangles”, www.mathopolis.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.
14. ↑“Triangles”, www.xaktly.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.
15. ↑Asif M (25-7-2019), “Properties of triangle – Important formulas and classification”، www.e-gmat.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.
16. ↑“Triangles”, www.courses.lumenlearning.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.
17. ↑Pi Han Goh, Chung Kevin, J J, “Congruent and Similar Triangles”، www.brilliant.org, Retrieved 11-4-2020. Edited.
18. ↑“Example Questions”, www.varsitytutors.com, Retrieved 11-4-2020.
19. ↑“Example Questions”, www.varsitytutors.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.
20. ↑“Example Questions”, www.varsitytutors.com, Retrieved 11-4-2020. Edited.