ضغط الموائع المتحركة

‘);
}

معادلة الاستمراريّة

تنصّ معادلة الاستمراريّة على أنّ المائع الذي يمرّ خلال مقطعٍ أسطواني الشكل في فترةٍ زمنيّةٍ تسمّى (التغيّر في الزمن)، يخرج منه بنفس الكميّة التي دخل بها، وبالتالي فإنه لأي مائعٍ مثاليٍ يكون هناك معدل للتدفق، وهو حجم المائع الذي يتدفق خلال مقطعٍ معينٍ في وحدة الزمن، ويمكن التوصل إلى قانون معدل التدفق كما يلي:

• نرمز للكتلة الداخلة بالرمز (ك د)، ونرمز للكتلة الخارجة بالرمز (ك خ)
• نرمز للحجم بالرمز (ح)، والكثافة بالرمز (ث)، ووحدة الزمن بالرمز (ز)، والمساحة بالرمز (م)، والسرعة بالرمز(ع).
• الكتلة الداخلة في المقطع (ك د)=الكتلة الخارجة من المقطع (ك خ).
• الحجم1×الكثافة1=الحجم2×الكثافة2.
• مساحة المقطع1×المسافة1×الكثافة1=مساحة المقطع2×المسافة2×الكثافة2.
• م1×(ع1×ز)×ث1=م2×(ع2×ز)×ث2.
• م1×ع1×ث1=م2×ع2×ث2………….هذه معادلة الاستمرارية لمائعٍ غير مثاليٍ.

إذا كان المائع مثالي تكون الكثافة ثابتة، وبالتالي: م1×ع1=م2×ع2، وبالتالي فإن معدل التدفق يكون مقداراً ثابتاً. أي: معدّل التدفق=م×ع.

مثال توضيحي:

إذا كان الماء ينساب بانتظامٍ في أنبوبٍ أفقيٍ غير منتظم المقطع، وكانت م1=24 سم²، وم2=8 سم²، وع1= 12م/ث، فما هي سرعة جريان الماء في الطرف الثاني للأنبوب، وما هو معدّل التدفق له. الحل:

سرعة جريان الماء في الطرف الثاني للأنبوب:

م1×ع1=م2×ع2.

24×12=8×ع2.

ع2=(24×12)/8.

ع2=36 سم/ث.

معدّل التدفق=م1×ع1

=24×12

= 288 سم³/ث، وللتحويل إلى م³/ث نقسم الناتج على 10000

0.0288 م³/ث.

معادلة برنولي

تقول معادلة برنولي بأنّ مجموع كلٍ من الضغط والطاقة الحركية لوحدة الحجوم وطاقة الوضع لوحدة الحجوم هو مقدار ثابت في أي نقطةٍ من نقاط جريان المائع، ورياضياً:

الضغط+الطاقة الحركية لوحدة الحجوم+طاقة الوضع لوحدة الحجوم=مقدار ثابت.

طاقة الوضع= ك×ج×ل، حيث ك هي الكتلة، وج هي الجاذبية، ول هو الارتفاع.

= ح×ث×ج×ل، حيث ح الحجم و ث الكثافة.

إذا أخذنا وحدة الحجوم ح=1م³ فإن:

طاقة الوضع=ث×ج.

طاقة الحركة=1/2×ك×ع².

=1/2×ح×ث×ع².

= 1/2×ث×ع²( لأن وحدة الحجوم =1م²).

فإذا أخذنا موضعين مختلفين على طول مقطع الأنبوب، فإن معادلة برنولي تكون:

ض1+ 1/2×ث×(ع1)² +ث×ج×ل1=ض2+ 1/2×ث×(ع2)² + ث×ج×ل2.

هناك حالة خاصّة من معادلة برنولي هي عندما يكون الأنبوب أفقي (أي أنّ ل1=ل2)، فتصبح المعادلةك

ض1+ 1/2×ث×(ع1)²=ض2+ 1/2×ث×(ع2)².

أمثلة توضيحية:

• مثال1: إذا ارتفع أنبوب ما عن الأرض مسافة 2.5م عند الطرف الأول منه، وكانت مساحة مقطع الأنبوب عند هذا الطرف 0.2م²، وعند الطرف الآخر يرتفع الأنبوب مسافة 2م ومساحة مقطعه هي 0.1م²، فإذا كانت سرعة جريان الماء في الطرف الأول هي 2م/ث وضغط الماء 30000 باسكال، وكانت كثافة الماء تساوي 1000كغم/م³، والجاذبية 10م/ث²، فاحسب السرعة والضغط عند الطرف الثاني. الحل:

من معادلة الاستمرارية:

م1×ع1=م2×ع2.

0.2×2=0.1×ع2.

ع2=4م/ث.

من معادلة برنولي:

ض1+ 1/2×ث×(ع1)² +ث×ج×ل1=ض2+ 1/2×ث×(ع2)² + ث×ج×ل2.

30000+ 1/2×1000×4 + 1000×10×2.5=ض2+ 1/2×1000×16+ 1000×10×2.

32000+ 25000=ض2+8000+20000.

57000=ض2+28000.

ض2=57000-28000.

ض2=29000 باسكال.

• مثال2: إذا انساب الماء في أنبوبٍ أفقيٍ غير منتظم المقطع، وكان ضغط الماء 14000 باسكال في الجزء الذي تكون فيه سرعة الماء 0.3م/ث، فإذا كانت كثافة الماء تساوي 1000كغم/م²، فما هو الضغط عند الطرف الآخر الذي سرعة الماء فيه هي 0.6م/ث. الحل:

لأن الأنبوب أفقي فإن المعدلة المستخدمة هي:

ض1+ 1/2×ث×(ع1)²=ض2+ 1/2×ث×(ع2)².

14000 +1/2×1000×0.09=ض2+ 1/2×1000×0.36.

14000+45=ض2+180.

ض2=14045-180.

ض2=13865 باسكال.