شرح معادلة الكرة

شرح معادلة الكرة بطريقة سهلة ، واحدة من الأشكال الهندسة ثلاثية الأبعاد التي يعرفها الجميع، ومرتبطة ارتباط كلي واقعنا في تمثل شكل الأرض، هي الكرة، سنتناول سويا مفهوم الكرة، و ما هي معادلة الكرة والشكل العام للقانون، بالاضافة لكثير من الأمثلة التي تساعدنا على الفهم، في المقال التالي على موقع موسوعة .

شرح معادلة الكرة (Sphere) :

تعد محل هندسي على الفضاء ثلاثي الأبعاد، لنقطة تتحرك عبر ذلك الفضاء و تكون على بعد ثابت من نقطة معينة تسمى مركز تلك الكرة،و يطلق على تلك المسافة الثابت القطر و يرمز له من خلال (نق2 )، و المسافة بين أي نقطى تشكل الكرة ومركزها يطلق عليها نصف القطر، وهي تساوي منتصف طول القطر و يرمز لها من خلال (نق)، كما يمثل مقطع الكرة دائرة، و الكرة التي نصف قطرها يساوي واحد يطلق عليها كرة الوحدة .

و لكي يطلق على ذلك المحل الهندسي مسمى كرة، لابد أن يحقق معادلة الكرة .

الشكل العام لمعادلة الكرة :

الصورة العامة لكرة مركزها هو ( 0, 0, 0) و نصف قطرها هو نق، و كانت النقط ( س، ص، ع) ثلاث محاور في المستوى الثلاثي الأبعاد، تكون على الشكل التالي :

س² + ص² + ع² = نق2

لكن الصورة العاملة لمعادلة الدائرة تختلف إذا كانت النقط ( – أ  ، – ب  ، – ج ) هي مركز الكرة و نصف القطر هو نق ، و كانت النقط ( س، ص، ع) ثلاث محاور في المستوى الثلاثي الأبعاد، في الشكل التالي:

( س – أ )² + (ص – ب)² + (ع – ج )² = نق2

مما يعني ان المعادلة عند فكها تكون على الشكل التالي : س² + ص² + ع² + 2أ س  + 2 ب ص + 2 ج ع + د  =  0

أمثلة لحساب معادلة الكرة :

مثال 1 :

أوجد معادلة الكرة التي لها مركزها يساوي ( 2 ، 1 ، 1)  و تمتلك نصف قطر طوله = 5 ىسم

الحل : 

أولا نقوم بكتابة الشكل العام لمعادلة الدائرة وهو كالتالي :

نق2 = س² + ص² + ع²

و بعد ذلك نقوم بالتعويض بالمعطيات في المعادلة كالاتي :

² 5   = ( س – 2)² + ( ص -1 )²  + ( ع – 1)²

إذا المعادلة هي : 25 = ( س – 2)² + ( ص -1 )²  + ( ع – 1)²

مثال 2 : 

إذا افترضنا أن مركز كرة هو ( 6 ، 3 ، 2 ) و لها نصف قطر يساوي 4 سم، قم بإيجاد معادلة الكرة .

الحل :

في البداية نقوم بكتابة الشكل العام لمعادلة الدائرة وهو كالتالي :

س² + ص² + ع² = نق2

ثم نقوم بالتعويض بالمعطيات في المعادلة كالاتي :

(س – 6)² + (ص- 3)² + (ع – 2)² = ²4

إذا المعادلة هي : (س – 6)² + (ص- 3)² + (ع – 2)² = 16

مثال 3 :

قم بحساب مركز و طول نصف قطر الكرة التي تمتلك معادله تساوي  (س²  +  ص²  +ع² – 8 س – 6 ص +10ع -5 ) .

 الحـــل :

 من خلال إكمال المربع لكل من س، ص، ع كما يلي :  س²  +  ص²  +ع² – 8 س – 6 ص +10ع  = 5 

فنجد أن معامل س  (-8 ) و نصفه (-4) كما أن تربيعه (16) ثم نضع ( -16 ، 16 ) 

و نجد أن معامل ص ( -6) و نصفه هو ( -3) كما أن تربيعه (9) ثم نضع ( -9 ، 9 )

و أخيرا نجد أن معامل ع (10) و نصفه ( 5) و نجد تربيعه (25) ثم نضع (- 25 ، 25 )

و الان بالتعويض : س² – 8س + 16 – 16 + ص² -6ص + 9 – 9 +ع² + 10ع +25 – 25 = 5

و من خلال التحليل و فصل المتغيرات : ( س – 4 )² + ( ص – 3 )² + ( ع + 5 )²  = 5 + 16+ 9 + 25

نجدا أن : ( س – 4 )² + ( ص – 3 )² + ( ع + 5 )²  = 55

إذا  المركز هو  = ( 4 ، 3 ، -5 )

و  طول نصف القطر ( نق ) هو الجذر التربيعي ل 55   

المثال 4 : 

 أحسب معادلة الكرة التي تحقق الشروط الآتية :

 مركزها ( 7 ، 3 ، 5 ) و تمر عبر النقطة ( 2 ، – 1 ، – 3 )

الحــل :  

نقوم بالتعويض بالمعطيات في معادلة الكرة كالاتي :

( س – 7)² + ( ص – 3 )² + ( ع – 5 )²  =  نق2   

النقطة  ( 2 ، – 1 ، – 3 ) التي هي ( س ، ص ، ع ) تحقق المعادلة : 

( 2 – 7 )²  + (-1 – 3 )²  + ( – 3 – 5 )²  =  نق2

  25         +     16         +     64       =105           

مما يعني أن نصف القطر = نق2 = 105

و المعادلة هي = ( س – 7)² + ( ص – 3 )² + ( ع – 5 )²  =  105